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三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长均为a,∠A'AB=∠A'AC=60°求其全面积 在侧面中为什么面B'BCC'是一个正方形

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2008-12-02

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  作A'O⊥面ABC于O, ∵ ∠A'AB=∠A'AC,则O在∠BAC的平分线上,又 ∵ △ABC是正△, ∴ O是△ABC的中心, ∴ AO⊥BC,由三垂线逆定理,BC⊥A'A,BB'∥AA', ∴ BC⊥BB', 又BC=BB', ∴ 面B'BCC'是正方形 S(全)=2S(aa'b'b)+S(b'bcc')+2S(abc) =2a²sin60°+a²+2×(√3a²/4) =[(3√3/2)+1]a²。
  

2008-12-02

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    三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长均为a,∠A'AB=∠A'AC=60°求其全面积 在侧面中为什么面B'BCC'是一个正方形 如图 取BC中点D,连接AD、A'B、A'C、A'D 因为三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长均为a,所以: 四边形AA'B'B、AA'C'C、BB'C'C为菱形 且,上表面ABC为等边三角形 又,D为BC中点 所以:AD⊥BC 而在△AA'B中,AB=A'B'=a,∠A'AB=60° 所以,△AA'B也是边长为a的等边三角形。
     所以:A'B=a 同理:A'C=a 所以,△A'BC也为等边三角形 而D为BC中点 所以:A'D⊥BC 所以,BC⊥面AA'D 所以,BC⊥AA' 而,AA'//CC'//BB' 所以:BC⊥BB',且BC⊥CC' 所以,四边形BB'C'C为正方形。
     其实,这个三棱柱可以看做是直三棱柱沿着AD(A'D')所在直线向旁边推动行成的。那么,四边形BB'C'C的形状自然就不会改变。

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