请教2道数学题，满意加分，谢谢指
1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinB=5/13，且b^2=ac
（1）求1/tanA+1/tanC的值；
1/tanA+1/tanC=(cosA/sinA)+(cosC/sinC)
=(cosAsinC+sinAcosC)/(sinAsinC)
=sin(A+C)/(sinAsinC)
【因为A+B+C=180°，所以：sin(A+C)=sinB】
=sinB/(sinAsinC)…………………………………………（1）
又由正弦定理有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
则：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
已知b^2=ac
即...全部
1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinB=5/13，且b^2=ac
（1）求1/tanA+1/tanC的值；
1/tanA+1/tanC=(cosA/sinA)+(cosC/sinC)
=(cosAsinC+sinAcosC)/(sinAsinC)
=sin(A+C)/(sinAsinC)
【因为A+B+C=180°，所以：sin(A+C)=sinB】
=sinB/(sinAsinC)…………………………………………（1）
又由正弦定理有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
则：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
已知b^2=ac
即，4R^2*sin^2 B=4R^2*sinAsinC
即：sinAsinC=sin^2 B……………………………………（2）
将(2)代入(1)得到：1/tanA+1/tanC=sinB/(sinAsinC)
=sinB/sin^2 B
=1/sinB
=1/(5/13)
=13/5
(2)若acCOSB=12，求a+c的值
已知sinB=5/13，accosB=12
因为a、c＞0，所以cosB＞0
所以，cosB=12/13
那么，ac=12/cosB=12/(12/13)=13……………………………（3）
由余弦定理有：b^2=a^2+c^2-2accosB
已知，b^2=ac
所以：a^2+c^2-2accosB=ac
===> a^2+c^2=ac+2accosB
===> a^2+c^2-ac=2*12=24
===> (a+c)^2-3ac=24
===> (a+c)^2=24+3ac=24+3*13=24+39=63
===> a+c=√63=3√7
2、在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosC/cosB=3a-c/b,又b=根号3，则△ABC的面积的最大值为多少？
由前面正弦定理知：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
所以：cosC/cosB=(3a-c)/b
===> cosC/cosB=(3sinA-sinC)/sinB
===> cosCsinB=3sinAcosB-sinCcosB
===> cosCsinB+sinCcosB=3sinAcosB
===> sin(B+C)=3sinAcosB
===> sinA=3sinAcosB
===> cosB=1/3………………………………………………（1）
又由余弦定理有：b^2=a^2+c^2-2accosB=(√3)^2=3
===> a^2+c^2-(2/3)ac=3
因为：a^2+c^2≥2ac，当且仅当a=c时取等号
===> 3=a^2+c^2-(2/3)a≥2ac-(2/3)ac=(4/3)ac
===> ac≤9/4……………………………………………………（2）
则，S△ABC=(1/2)acsinB≤(1/2)*(9/4)*(2√2/3)=(3√2)/4
即，△ABC面积最大值为3√2/4。
收起
