面积

在正三棱锥V—ABC的底面边长为

在正三棱锥V—ABC的底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB边的截面交侧棱VC于P。 （1）若P为VC的中点，求截面PAB的面积 因为V-ABC为正三棱锥，所以底面ABC为正三角形 侧面VAB、VAC、VBC为三个全等的等腰三角形 所以，△PAC≌△PBC 所以，PA=PB 取AB中点D，连接PD；取BC中点E，连接VE 则，PD⊥AB，即PD为△PABA边AB上的高 VE⊥BC 所以，在Rt△VEC中，cos∠VCE=CE/VC=(BC/2)/VC=1/3 那么，在△PBC中，由余弦定理有： PB^2=PC^2+BC^2-2PC*BC*cos∠PCB =(3/2)^2+2^2-2*(3...全部

  在正三棱锥V—ABC的底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB边的截面交侧棱VC于P。
   （1）若P为VC的中点，求截面PAB的面积 因为V-ABC为正三棱锥，所以底面ABC为正三角形 侧面VAB、VAC、VBC为三个全等的等腰三角形 所以，△PAC≌△PBC 所以，PA=PB 取AB中点D，连接PD；取BC中点E，连接VE 则，PD⊥AB，即PD为△PABA边AB上的高 VE⊥BC 所以，在Rt△VEC中，cos∠VCE=CE/VC=(BC/2)/VC=1/3 那么，在△PBC中，由余弦定理有： PB^2=PC^2+BC^2-2PC*BC*cos∠PCB =(3/2)^2+2^2-2*(3/2)*2*(1/3) =17/4 而，在Rt△PDB中，由勾股定理有： PD^2=PB^2-BD^2=(17/4)-1=13/4 所以，PD=√13/2 所以，△PAB的面积=(1/2)*AB*PD=(1/2)*2*(√13/2)=√13/2 （2）求截面PAB的面积的最大值 由(1)的过程可以看出，无论点P在VC上如何移动，都不会改变△PAB是等腰三角形 所以，设PC=x 那么，在△PBC中，由余弦定理有： PB^2=PC^2+BC^2-2PC*BC*cos∠PCB =x^2+4-2x*2*(1/3) =x^2-(4/3)x+4 而，在Rt△PDB中，由勾股定理有： PD^2=PB^2-BD^2=x^2-(4/3)x+4-1 =x^2-(4/3)x+3 所以，PD=√[x^2-(4/3)x+3] 所以，△PAB的面积=(1/2)*AB*PD=(1/2)*2*√[x^2-(4/3)x+3] =√[x^2-(4/3)x+3] =√[(x-2/3)^2+(23/9)] 因为P是在VC上移动，所以：0≤x≤3 对于函数g(x)=x^2-(4/3)x+3在0≤x≤3上就有最大值=g(3)=8 所以，△PAB面积的最大值为√8=2√2 （此时△PAB就是侧面△VAB）。收起