在△ABC三边a、b、c满足:a
证明:
设a^2x^2+b^2x+c^2=0的两根为m、n,
曲韦达定理有
m+n=-b^2/a^2,mn=c^2/a^2。
又设ax^2+bx+c=0的两根为p、q,
同样依韦达定理得
p+q=-b/a,pq=c/a。
∴p^2+q^2=(p+q)^2-2Pq=b^2/a^2-2c/a
依题意有,m+n=P^2+q^2
∴-b^2/a^2=b^2/a^2-2c/a
→b^2=ac,即a、b、c成等比数列。
(1)由余弦定理得,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=(a^2+c^2-ac)/2ac
≥(2ac-ac)/2ac
=1/2。
而cosB在(0,π)内递减,
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证明:
设a^2x^2+b^2x+c^2=0的两根为m、n,
曲韦达定理有
m+n=-b^2/a^2,mn=c^2/a^2。
又设ax^2+bx+c=0的两根为p、q,
同样依韦达定理得
p+q=-b/a,pq=c/a。
∴p^2+q^2=(p+q)^2-2Pq=b^2/a^2-2c/a
依题意有,m+n=P^2+q^2
∴-b^2/a^2=b^2/a^2-2c/a
→b^2=ac,即a、b、c成等比数列。
(1)由余弦定理得,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=(a^2+c^2-ac)/2ac
≥(2ac-ac)/2ac
=1/2。
而cosB在(0,π)内递减,
∴B≤π/3。
(2)由正弦定理,有
b=2RsinB≤2Rsin(π/3)=(根3)R
所以,R≥b/根3。
(3)∵a+c≥2根(ac),b^2=ac,
∴a+c≥2b,依正弦定理得
sinA+sinC≥2sinB
→2sin[(A+C)/2]*cos[(A-C)/2]≥2sin(A+C)=4sin[(A+C)/2]*cos[(A+C)/2]
→cos[(A-C)/2]≥2cos[(A+C)/2]
→cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)≥2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)
→3sin(A/2)sin(C/2)≥cos(A/2)cos(C/2) ……(*)
即tan(A/2)tan(C/2)≥1/3。
(4)∵cosA+cosC+2cosB-2
=2cos[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]-4[sin(B/2)]^2
=2sin(B/2){cos[(A-C)/2]-2sin[(A+C)/2]}
=2sin(B/2)[3sin(A/2)sin(C/2)-cos(A/2)cos(C/2)]
以(*)式代入,得
cosA+cosC+2cosB-2≥0
即cosA+cosC+2cosB≥2。
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