在△ABC三边a、b、c满足：a^2x^2+b^2x+c^2=0两根为ax^2+bx+c=0两根的平

    证明： 设a^2x^2+b^2x+c^2=0的两根为m、n, 曲韦达定理有 m+n=-b^2/a^2,mn=c^2/a^2。 又设ax^2+bx+c=0的两根为p、q, 同样依韦达定理得 p+q=-b/a,pq=c/a。
   ∴p^2+q^2=(p+q)^2-2Pq=b^2/a^2-2c/a 依题意有,m+n=P^2+q^2 ∴-b^2/a^2=b^2/a^2-2c/a →b^2=ac,即a、b、c成等比数列。
     (1)由余弦定理得, cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac =(a^2+c^2-ac)/2ac ≥(2ac-ac)/2ac =1/2。 而cosB在(0,π)内递减, ∴B≤π/3。
   (2)由正弦定理,有 b=2RsinB≤2Rsin(π/3)=(根3)R 所以,R≥b/根3。   (3)∵a+c≥2根(ac),b^2=ac, ∴a+c≥2b,依正弦定理得 sinA+sinC≥2sinB →2sin[(A+C)/2]*cos[(A-C)/2]≥2sin(A+C)=4sin[(A+C)/2]*cos[(A+C)/2] →cos[(A-C)/2]≥2cos[(A+C)/2] →cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)≥2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2) →3sin(A/2)sin(C/2)≥cos(A/2)cos(C/2) ……(*) 即tan(A/2)tan(C/2)≥1/3。
     (4)∵cosA+cosC+2cosB-2 =2cos[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]-4[sin(B/2)]^2 =2sin(B/2){cos[(A-C)/2]-2sin[(A+C)/2]} =2sin(B/2)[3sin(A/2)sin(C/2)-cos(A/2)cos(C/2)] 以(*)式代入,得 cosA+cosC+2cosB-2≥0 即cosA+cosC+2cosB≥2。
    。