直线与圆的方程4
如图，AB^2+CD^2=AD^2+BC^2，AC交BD与点O
设∠AOB=∠COD=θ，则∠AOD=∠BOC=π-θ
AB^2=OA^2+OB^2+2*OA*OB*cosθ
CD^2=OC^2+OD^2+2*OC*OD*cosθ
AD^2=OA^2+OD^2+2*OA*OD*cos(π-θ)
=OA^2+OD^2-2*OA*OD*cosθ
BC^2=OB^2+OC^2+2*OB*OC*cos(π-θ)
=OB^2+OC^2-2*OB*OC*cosθ
由AB^2+CD^2=AD^2+BC^2得：
OA^2+OB^2+2*OA*OB*cosθ+OC^2+OD^2+2*OC*OD*cosθ= ...全部
如图，AB^2+CD^2=AD^2+BC^2，AC交BD与点O
设∠AOB=∠COD=θ，则∠AOD=∠BOC=π-θ
AB^2=OA^2+OB^2+2*OA*OB*cosθ
CD^2=OC^2+OD^2+2*OC*OD*cosθ
AD^2=OA^2+OD^2+2*OA*OD*cos(π-θ)
=OA^2+OD^2-2*OA*OD*cosθ
BC^2=OB^2+OC^2+2*OB*OC*cos(π-θ)
=OB^2+OC^2-2*OB*OC*cosθ
由AB^2+CD^2=AD^2+BC^2得：
OA^2+OB^2+2*OA*OB*cosθ+OC^2+OD^2+2*OC*OD*cosθ= OA^2+OD^2-2*OA*OD*cosθ
+ OB^2+OC^2-2*OB*OC*cosθ
化简得：2*OA*OB*cosθ+2*OC*OD*cosθ+2*OA*OD*cosθ
+2*OB*OC*cosθ=0
即2*(OA+OC)*(OB+OD)*cosθ=0
而OA+OC>0，OB+OD>0
∴cosθ=0，θ=90°，即AC⊥BD
。
收起
