已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1
已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1（a>0且a不等于1）
（1）求f(x)的定义域和值域；
因为g(x)=a^x当a＞0且a≠1时，其定义域为R，值域为g(x)＞0
所以，a^x+1＞1
故f(x)的定义域为x∈R
又，f(x)=（a^x-1)/(a^x+1)=[(a^x+1)-2]/(a^x+1)
=1-[2/(a^x+1)]
因为a^x+1＞1，所以0＜1/(a^x+1)＜1
所以，0＜2/(a^x+1)＜2
所以，-2＜-2/(a^x+1)＜0
所以，-1＜f(x)=1-[2/(a^x+1)]＜1
即，值域f(x)∈(-1,1)
（2）讨论f(x)的奇偶性；
f(-x)=[a^...全部
已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1（a>0且a不等于1）
（1）求f(x)的定义域和值域；
因为g(x)=a^x当a＞0且a≠1时，其定义域为R，值域为g(x)＞0
所以，a^x+1＞1
故f(x)的定义域为x∈R
又，f(x)=（a^x-1)/(a^x+1)=[(a^x+1)-2]/(a^x+1)
=1-[2/(a^x+1)]
因为a^x+1＞1，所以0＜1/(a^x+1)＜1
所以，0＜2/(a^x+1)＜2
所以，-2＜-2/(a^x+1)＜0
所以，-1＜f(x)=1-[2/(a^x+1)]＜1
即，值域f(x)∈(-1,1)
（2）讨论f(x)的奇偶性；
f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)+1]
=[1-a^x]/[1+a^x]【分子分母同乘以不为零的数a^x】
=-(a^x-1)/(a^x+1)
=-f(x)
所以，f(x)为奇函数
（3）讨论f(x)的单调性。
由(2)知，f(x)为奇函数，所以只讨论在x＞0时的情况
①当a＞1时，a^x为增函数
令：0＜x1＜x2
则，f(x1)-f(x2)=[(a^x1-1)/(a^x1+1)]-[(a^x2-1)/(a^x2+1)]
=[(a^x1-1)*(a^x2+1)-(a^x2-1)*(a^x1+1)]/[(a^x1+1)*(a^x2+1)]
上述分式的分母一定＞0
分子=[a^(x1+x2)-a^x2+a^x1-1]-[a^(x1+x2)-a^x1+a^x2-1]
=2(a^x1-a^x2)
因为a^x为增函数，且x1＜x2
所以，a^x1＜a^x2
所以，f(x1)-f(x2)＜0
即，f(x1)＜f(x2)
所以，f(x)为增函数
而f(x)为R上的奇函数
所以，在R上，f(x)为增函数
②当0＜a＜1时，同理可得f(x)在R上为减函数。
收起
