不等式问题

一个不等式问题设a,b,c是三角

下面提供两种证明方法，此不等式我所知道的至少四种证法。 (1)，令X=a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2-(a^2+b^2+c^2)*(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)/[3(abc)^2] G为三角形重心，M为三角形负布洛卡尔点，则有恒等式: 9GM^2=X*(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)，故X>=0。 (2)运用三角形惯性极矩不等式: (x+y+z)*(xPA^2+yPB^2+zPC^2)>=yza^2+zxb^2+xyc^2, 取x=c^2*a^2,y=a^2*b^2,z=b^2*c^2,P取重心即得所不等式。 上述不等式有许多...全部

  下面提供两种证明方法，此不等式我所知道的至少四种证法。 (1)，令X=a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2-(a^2+b^2+c^2)*(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)/[3(abc)^2] G为三角形重心，M为三角形负布洛卡尔点，则有恒等式: 9GM^2=X*(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)，故X>=0。
   (2)运用三角形惯性极矩不等式: (x+y+z)*(xPA^2+yPB^2+zPC^2)>=yza^2+zxb^2+xyc^2, 取x=c^2*a^2,y=a^2*b^2,z=b^2*c^2,P取重心即得所不等式。
   上述不等式有许多等价式: (ma)^2/a^2+(mb)^2/b^2+(mc)^2/c^2>=(3/4)*(b^2/a^2+c^2/b^2+a^2/c^2); (mb)^2/a^2+(mc)^2/b^2+(ma)^2/c^2>=9/4。
   下面给出一种纯初级证法 a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2≥(a^2+b^2+c^2)*(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)/[3(abc)^2] (1) (1)式去分母得: 2(a^2*b^4+b^2*c^4+c^2*a^4)≥a^4*b^2+b^4*c^2+c^4*a^2+3a^2*b^2*c^2 上式化简整理为[轮换对称转化全对称化简] a^2*(b^4+c^4)+b^2*(c^4+a^4)+c^2*(a^4+b^4) -6a^2*b^2*c^2 ≥3(a^2-b^2)*(b^2-c^2)*(a^2-c^2) (2) a^2*(b^2-c^2)^2+b^2*(c^2-a^2)^2+c^2*(a^2-b^2)^2 ≥3(a^2-b^2)*(b^2-c^2)*(a^2-c^2) (3) (3)式左边显然为非负，如右边为负则成立，如右边为非负，不妨设a>b>c[当然c>a>b, 或b>c>a也行]。
  下面来证明当a>b>c时, (3)式成立。 根椐已知恒等式: (b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3+ (a^2-b^2)^3=3(a^2-b^2)*(b^2-c^2)*(c^2-a^2) (4) (3)式等价于 a^2*(b^2-c^2)^2+b^2*(c^2-a^2)^2+c^2*(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3+(a^2-b^2)^3≥0 (b^2-c^2)^2*(a^2+b^2-c^2)+(c^2-a^2)^2*(b^2+c^2-a^2)+(a^2-b^2)^2*(c^2+a^2-b^2)≥0 备注: 上式在锐角三角形显然成立。
   注意到 a^2-c^2=a^2-b^2+b^2-c^2，所以上式化简等价于 b^2*(b^2-c^2)^2+c^2*(a^2-b^2)^2+(a^2-b^2)*( b^2-c^2)*(b^2+c^2-a^2)≥0 [b(b^2-c^2)-c(a^2-b^2)]^2+(a^2-b^2)*( b^2-c^2)*(b^2+c^2-a^2+2bc)≥0 [b(b^2-c^2)-c(a^2-b^2)]^2+(a^2-b^2)*( b^2-c^2)*(b+c-a)*(b+c+a)≥0 上式显然在a>b>c条件下成立。
   故得证。 zhh2360说:某个均值不等式的特殊情况,很想见识一下。 。收起