数学`..`.`!
是否存在常数a,b,c使得(1/n)三次方+(2/n)三次方……+(n/n)三次方=(an平方+bn+c)/n 提示`数学归纳法`
全部回答
若等式成立，则当n=k、k+1时分别有：
(1/k)^3+(2/k)^3+…+(k/k)^3=(ak^2+bk+c)/k 。。。(1)
[1/(k+1)]^3+。。
+[(k+1)/(k+1)]^3=[a(k+1)^2+b(k+1)+c]/(k+1)。。(2)
(2)*(k+1)^2 -(1)*k^2，得k的4次多项式：
ak^4+(b+1)k^3+(c+3)k^2+3k+1
= ak^4+(4a+b)k^3+(6a+3b+c)k^2+(4a+3b+2c)k+(a+b+c) 。
。。
(3)
(3)恒等，得：
b+1=4a+b, c+3=6a+3b+c, 3=4a+3b+3c, 1=a+b+c
==> a=b=c =1/3
因此，存在常数a=b=c=1/3，使等式成立
。
(1/n)^3+(2/n)^+。。。+(n/n)^3
=[1^3+2^3+。。。+n^3]/n^3
=[n(n+1)/2]^2/n^3
=(n+1)^2/n
=[(1/4)n^2+(1/2)n+(1/4)]/n
所以存在a=1/4,b=1/2,c=1/4。
严格来说这个等式需要用归纳法证明。
上面用了一个常见的求和公式
1^3+2^2+3^3+。。。+n^3=[1+2+。。+n]^2=[n(n+1)]^2/4。
这个公式可以用数学归纳法证明：
n=1, 左边=1，右边=[1*2]^2/4=1。 左边=右边。
如果在n时候成立，就是
1^3+2^3+。。。+n^3=[n(n+1)]^2/4。
要证明n+1时候也成立：
左边=1^3+2^3+。。。+n^3+(n+1)^3
=[n(n+1)]^2/4+(n+1)^3
=(n+1)^2*[n^2+4(n+1)]/4
=(n+1)^2*(n+2)^2/4
=[(n+1)(n+2)]^2/4
=右边。
所以1^3+2^2+3^3+。。。+n^3=[1+2+。。+n]^2=[n(n+1)]^2/4对所以正整数n都成立。
。
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