设椭圆左右焦点为F1 F2

数学椭圆两个题1两焦点F1F2和椭

1 两焦点F1 F2和椭圆上一焦点P组成的三角形，角F1PF2为什么是P在短轴顶点时最大， 证明： 不妨设：x＾/a＾+y＾/b＾=1 F1（-c，0） F2（c，0） 在三角形F1PF2中： F1F2＾=PF1＾+PF2＾-2PF1PF2cos∠F1PF2 =（PF1+PF2）＾-2PF1PF2-2PF1PF2cos∠F1PF2 =4a＾-2PF1PF2（1+cos∠F1PF2）=4c＾ PF1PF2=[2（a＾-c＾）]/（1+cos∠F1PF2） ∵PF1+PF2=2a=定值 且PF1＞0 PF2＞0 ∴PF1PF2≤（PF1+PF2）＾/4=a＾ 当且仅当PF1=...全部

  1 两焦点F1 F2和椭圆上一焦点P组成的三角形，角F1PF2为什么是P在短轴顶点时最大， 证明： 不妨设：x＾/a＾+y＾/b＾=1 F1（-c，0） F2（c，0） 在三角形F1PF2中： F1F2＾=PF1＾+PF2＾-2PF1PF2cos∠F1PF2 =（PF1+PF2）＾-2PF1PF2-2PF1PF2cos∠F1PF2 =4a＾-2PF1PF2（1+cos∠F1PF2）=4c＾ PF1PF2=[2（a＾-c＾）]/（1+cos∠F1PF2） ∵PF1+PF2=2a=定值 且PF1＞0 PF2＞0 ∴PF1PF2≤（PF1+PF2）＾/4=a＾ 当且仅当PF1=PF2（P在短轴顶点时）时，[PF1PF2]max=a＾ ∴2（a＾-c＾）]/（1+cos∠F1PF2）≤a＾ 1+cos∠F1PF2＞0 cos∠F1PF2≥[2（a＾-c＾）]/a＾]-1 ∠F1PF2∈（0，π） 在定义域内，cos∠F1PF2单调递减。
   ∴当P在短轴顶点时，cos∠F1PF2取得最小值，∠F1PF2取得最大值。 2 过焦点F1作的椭圆的弦和椭圆的两交点为A，B，三角形ABF2的面积什么时候最大 为什么 解：不妨设：x＾/a＾+y＾/b＾=1 F2（-c，0） F1（c，0） A（x1，y1），B（x2，y2） Lab： y=k（x-c） （bx）＾+（ay）＾=（ab）＾ [b＾+（ka）＾]x＾-2cx（ak）＾+（akc）＾-（ab）＾=0 x1+x2=2c（ak）＾/[b＾+（ka）＾] x1x2=[（akc）＾-（ab）＾]/[b＾+（ka）＾] |AB|=√{（1+k＾）[（x1+x2）＾-4x1x2]} =（2ab＾）（1+k＾）/[b＾+（ka）＾] 点F2到直线Lab距离d=2|ck|/√（1+k＾） 三角形ABF2的面积S=（1/2）×d×|AB| =（ab＾）√[（1+k＾）]/[b＾+（ka）＾] =（ab＾）√[1+（1/k）＾]/[（b/k）＾+a＾] 1/k=0时，S最大 此时AB⊥X轴。
   。收起