在数列{an}中,已知a1=1,
a(n+2)-a(n+1)-2an=0
=>a(n+2)-2a(n+1)=-(a(n+1)-2an)=(-1)(a(n+1)-2an)
同理可得
a(n+1)-2an=(-1)(an-2a(n-1))
an-2a(n-1)=(-1)(a(n-1)-2a(n-2))
。 。。。。。
a3-2a2=(-1)(a2-2a1)
因此有
an-2a(n-1)=(-1)^(n-2)(a2-2a1)
因为a1=1, a2=3
所以
an-2a(n-1)=(-1)^(n-2)
=>an=2a(n-1)+(-1)^(n-2)
类似地，有
a(n-1)=2a(n-2)+(-1)^(n-3)
a(n-2)=2...全部
a(n+2)-a(n+1)-2an=0
=>a(n+2)-2a(n+1)=-(a(n+1)-2an)=(-1)(a(n+1)-2an)
同理可得
a(n+1)-2an=(-1)(an-2a(n-1))
an-2a(n-1)=(-1)(a(n-1)-2a(n-2))
。
。。。。。
a3-2a2=(-1)(a2-2a1)
因此有
an-2a(n-1)=(-1)^(n-2)(a2-2a1)
因为a1=1, a2=3
所以
an-2a(n-1)=(-1)^(n-2)
=>an=2a(n-1)+(-1)^(n-2)
类似地，有
a(n-1)=2a(n-2)+(-1)^(n-3)
a(n-2)=2a(n-3)+(-1)^(n-4)
。
。。。。。
a3=2a2+(-1)^1
因此有
an=2a(n-1)+(-1)^(n-2)
=(2^2)a(n-2)+2(-1)^(n-3)+(-1)^(n-2)
=(2^3)a(n-3)+2^2(-1)^(n-4)+2(-1)^(n-3)+(-1)^(n-2)
。
。。。。。
=2^(n-2)a2+2^(n-3)(-1)+2^(n-4)(-1)^2+。。。+2(-1)^(n-3)+(-1)^(n-2)
令Sn=2^(n-3)(-1)+2^(n-4)(-1)^2+。
。。
+2(-1)^(n-3)+(-1)^(n-2)
Sn是公比为-1/2的等比数列，可求得
Sn=1/3(-2^(n-2)+(-1)^(n-2))
所以有
an=2^(n-2)a2+1/3(-2^(n-2)+(-1)^(n-2))
=3*2^(n-2)-1/3*2^(n-2)+1/3*(-1)^(n-2)
=8/3*2^(n-2)+1/3*(-1)^(n-2)
=1/3(2^(n+1)+(-1)^(n-2))
。收起
