再求一道曲线证明题

因为P(x0,y0)同时在f(x,y)=0、g(x,y)=0上,所以同时有f(x0,y0)=0, g(x0,y0)=0;于是,有f(x0,y0)+t×g(x0,y0)=0+t×0=0,因此,P同时也在曲线蔟f(x,y)+t×g(x,y)=0上。

    1。过点（2，4）作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有 A。1条 B。2条 C。3条 D。
  4条 解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况。 答案：B 2。已知双曲线C：x2－ =1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 A。  1条 B。
  2条 C。3条 D。4条 解析：数形结合法，与渐近线平行、相切。 答案：D 3。双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是 A。
    （－∞，0） B。（1，＋∞） C。（－∞，0）∪（1，+∞） D。（－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：数形结合法，与渐近线斜率比较。 答案：C 4。过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8，O为坐标原点，则 △OAB的重心的横坐标为____________。
     答案：2 5。已知（4，2）是直线l被椭圆 + =1所截得的线段的中点，则l的方程是____________。 解析：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2）， 将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k= =－ = － =－ =－ 。
     由点斜式可得l的方程为x+2y－8=0。 答案：x+2y－8=0 ●典例剖析 【例1】 已知直线l：y=tanα（x+2 ）交椭圆x2+9y2=9于A、B两点，若α为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围。
   剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题。   解：将l方程与椭圆方程联立，消去y，得（1+9tan2α）x2+36 tan2α·x+72tan2α－9=0， ∴|AB|= |x2－x1| = · = 。
   由|AB|≥2，得tan2α≤ ， ∴－ ≤tanα≤ 。 ∴α的取值范围是［0， ）∪［ ，π）。   评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用。本题由于l的方程由tanα给出，所以可以认定α≠ ，否则涉及弦长计算时，还应讨论α= 时的情况。
   深化拓展 本题若把条件|AB|的长不小于短轴的长去掉，改为求|AB|的长的取值范围。读者不妨一试。 提示：|AB|= ， 设|AB|=y，即y= ， 9ytan2α+y=6tan2α+6， （9y－6）tan2α+y－6=0。
     当y≠ 时，由Δ≥0得 ＜y≤6。 当y= 时，l与x轴垂直， 故|AB|的范围是［ ，6］。 【例2】 已知抛物线y2=－x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点。
   （1）求证：OA⊥OB； （2）当△OAB的面积等于 时，求k的值。 剖析：证明OA⊥OB可有两种思路（如下图）： （1）证kOA·kOB=－1； （2）取AB中点M，证|OM|= |AB|。
     求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路： （1）利用S△OAB= |AB|·h（h为O到AB的距离）； （2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用S△OAB= |AB|·|y1－y2|。
   请同学们各选一种思路给出解法。   解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定。当然，这里消去x是最简捷的。 （1）证明：如下图，由方程组 y2=－x， y=k（x+1） ky2+y－k=0。
   设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1·y2=－1。 ∵A、B在抛物线y2=－x上， ∴y12=－x1，y22=－x2，y12·y22=x1x2． ∵kOA·kOB= · = = =－1， ∴OA⊥OB。
     （2）解：设直线与x轴交于N，又显然k≠0， ∴令y=0，则x=－1，即N（－1，0）。 ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN = |ON||y1|+ |ON||y2| = |ON|·|y1－y2|， ∴S△OAB= ·1· = 。
   ∵S△OAB= ， ∴ = 。  解得k=± 。 评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。 【例3】 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。
   剖析：设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=－ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式， 而直线BC与抛物线有两交点， ∴Δ＞0，即可求得k的范围。
     解：设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=－ky+m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m=0， 设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0）， 则y0＝ ＝－2k，x0＝2k2+m。
   ∵点M（x0，y0）在直线l上， ∴－2k=k（2k2＋m）+3。   ∴m=－ 。 又∵BC与抛物线交于不同两点， ∴Δ＝16k2＋16m＞0。 把m代入化简得 ＜0， 即 ＜0，解得－1＜k＜0。
   评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式。本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B、C两点在抛物线上得“Δ＞0”。   思考讨论 将直线BC设为x=－ky+m。
  好！若直线BC的方程设为y=－ x+m，本题运算量增大，同学们不妨一试。 ●闯关训练 夯实基础 1。若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为 ，则a+b的值为 A。
  － B。   C。± D。±2 解析：P（a，b）点在双曲线上，则有a2－b2=1，即（a+b）（a－b）=1。
   d= = ， ∴|a－b|=2。 又P点在右支上，则有a>b， ∴a－b=2。 ∴|a+b|×2=1，a+b= 。   答案：B 2。已知对k∈R，直线y－kx－1=0与椭圆 + =1恒有公共点，则实数m的取值范围是 A。
  （0，1） B。（0，5） C。［1，5）∪（5，+∞） D。［1，5） 解析：直线y－kx－1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点。
    所以， ≤1且m＞0，得m≥1。故本题应选C。 答案：C 3。已知双曲线x2－ ＝1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为____________。
   解析：设A（x1，y1）、B（x2，y2），代入双曲线方程3x2－y2=1相减得直线AB的斜率 kAB= = = = =6。   答案：6 4。AB为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为___________；若AB的倾斜角为α，则|AB|=____________。
   解析：设过F（ ，0）的直线为y=k（x－ ），k≠0，代入抛物线方程，由条件可得结果。   答案： 5。求过点（0，2）的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程。
   解：设直线方程为y=kx+2， 把它代入x2＋2y2＝2， 整理得（2k2＋1）x2+8kx+6=0。 要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k＜－ 或k＞ 。   设直线与椭圆两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），中点坐标为C（x，y），则 x＝ ＝ ， y= +2＝ 。
   x= ， y= 消去k得x2＋2（y－1）2＝2， 且｜x｜＜ ＝，0＜y＜ ． 6。中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为 ，与直线x+y－1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程。
     解：设椭圆方程 ＋ ＝1（a＞b＞0）， ∵e＝ ，∴a2＝4b2，即a＝2b。 ∴椭圆方程为 ＋ ＝1。 把直线方程代入化简得5x2－8x+4－4b2＝0。
   设M（x1，y1）、N（x2，y2），则 x1＋x2＝ ，x1x2＝ （4－4b2）。 ∴y1y2＝（1－x1）（1－x2） ＝1－（x1＋x2）＋x1x2＝ （1－4b2）。   由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0。
   解得b2＝ ，a2＝ 。 ∴椭圆方程为 x2＋ y2＝1。 培养能力 7。试证明双曲线 － =1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数。 证明：设P（x0，y0）是已知双曲线上任意一点，双曲线的渐近线为bx±ay=0，则点P到两渐近线的距离之积为d1·d2= · = = = 常数。
     8。已知直线y=（a+1）x－1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值。 y=（a+1）x－1， y2=ax， x=1， y=0。
     （2）当a≠0时，方程组化为 y2－y－1=0。 x=－1， y=－1。 若 ≠0，即a≠－1，令Δ=0，得1+4· =0，解得a=－ ，这时方程组恰有 x=－5， y=－2。
     综上所述，可知当a=0，－1，－ 时，直线与曲线恰有一个公共点。 探究创新 9。（2003年北京）如下图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为 M（0，r）（b＞r＞0）。
   （1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率。   （2）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。
   求证： = 。 （3）对于（2）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q。 求证：|OP|=|OQ|。   （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形） （1）解： 椭圆方程为 + =1。
   焦点坐标为F1（－ ，r），F2（ ，r）， 离心率e= 。 （2）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，得b2x2+a2（k1x－r）2=a2b2， 整理得（b2+a2k12）x2－2k1a2rx+（a2r2－a2b2）=0。
     根据韦达定理，得 x1+x2= ，x1x2= ， 所以 = 。 ① 将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得 = ② 由①②得 = = 。
     所以结论成立。 （3）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）。 由C、P、H三点共线，得 = ， 解得p= 。 由D、Q、G三点共线，同理可得q= 。 由 = 变形得－ = ， 即－ = 。
   所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|。 ●思悟小结 1。  解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便。
   2。涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法。 3。求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式 d= ＝ 。   再结合韦达定理解决。
  焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化。 ●教师下载中心 教学点睛 1。直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元最终归结为讨论一元二次方程根的情况。
    需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点。 2。涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|= |x2－x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）。
     3。涉及到圆锥曲线焦点弦的问题，还可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义），应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法。 拓展题例 【例1】 （2003年福州市模拟题）已知抛物线C：y2=4（x－1），椭圆C1的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合。
     （1）设B是椭圆C1短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C2的方程； （2）如果直线x+y=m与曲线C2相交于不同两点M、N，求m的取值范围。 （1）解法一：由y2=4（x－1）知抛物线C的焦点F坐标为（2，0）。
  准线l的方程为x=0。设动椭圆C1的短轴的一个端点B的坐标为（x1，y1）（x1＞2，y1≠0），点P（x，y）， x= ， x1=2x－2， y= ， y1=2y。
     ∴B（2x－2，2y）（x＞2，y≠0）。 设点B在准线x=0上的射影为点B′，椭圆的中心为点O′，则椭圆离心率e= ，由 = ，得 = ， 整理，化简得y2=x－2（y≠0），这就是点P的轨迹方程。
   解法二：抛物线y2=4（x－1）焦点为F（2，0），准线l：x=0。  设P（x，y）， ∵P为BF中点， ∴B（2x－2，2y）（x＞2，y≠0）。设椭圆C1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c， 则c=（2x－2）－2=2x－4，b2=（2y）2=4y2， ∵（－c）－（－ ）=2， ∴ =2， 即b2=2c。
  ∴4y2=2（2x－4）， 即y2=x－2（y≠0），此即C2的轨迹方程。   x+y=m， y2=x－2 m＞ 。 而当m=2时，直线x+y=2过点（2，0），这时它与曲线C2只有一个交点， ∴所求m的取值范围是（ ，2）∪（2，+∞）。
   【例2】 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B。   （1）若｜k｜≤ ，求椭圆C的离心率的取值范围； （2）若k= ，A、B到右准线距离之和为 ，求椭圆C的方程。
   解：（1）设右焦点F2（c，0），则l：y=k（x－c）。 令x=0，则y=－ck，∴P（0，－ck）。 ∵B为F2P的中点，∴B（ ，－ ）。   ∵B在椭圆上，∴ ＋ ＝1。
   ∴k2＝ · ＝（ －1）（4－e2） ＝ ＋e2－5。 ∵｜k｜≤ ，∴ ＋e2－5≤ 。 ∴（5e2－4）（e2－5）≤0。 ∴ ≤e2＜1。∴ ≤e＜1． （2）k＝ ，∴e＝ 。
  ∴ ＝ 。 ∴a2＝ c2，b2＝ c2。  椭圆方程为 ＋ ＝1，即x2＋5y2＝ c2． 直线l方程为y= （x－c）， B（ ，－ c），右准线为x= c。 设A（x0，y0），则 。