求最小值已知x、y属于(-2,2
u=4/(4-x^2)+9/(9-y^2),xy=-1,x、y属于(-2,2)
记a=x/2,b=y/3
则u=1/(1-a^2)+1/(1-b^2),ab=-1/6,a属于(-1,-1/4)∪(1/4,1)
将b=-1/(6a)代入并整理得：u=(-36a^4+72a^2-1)/(-36a^4+37a^2-1)=1-35a^2/(36a^4-37a^2+1) 其中a属于(-1,-1/4)∪(1/4,1)
由于a≠0，故可以除下去,又a^2属于(1/16,1)
则u=1-35/[36a^2+1/(a^2)-37]
考虑36a^2+1/(a^2)-37在a^2属于(1/16,1)上的...全部
u=4/(4-x^2)+9/(9-y^2),xy=-1,x、y属于(-2,2)
记a=x/2,b=y/3
则u=1/(1-a^2)+1/(1-b^2),ab=-1/6,a属于(-1,-1/4)∪(1/4,1)
将b=-1/(6a)代入并整理得：u=(-36a^4+72a^2-1)/(-36a^4+37a^2-1)=1-35a^2/(36a^4-37a^2+1) 其中a属于(-1,-1/4)∪(1/4,1)
由于a≠0，故可以除下去,又a^2属于(1/16,1)
则u=1-35/[36a^2+1/(a^2)-37]
考虑36a^2+1/(a^2)-37在a^2属于(1/16,1)上的取值情况，由耐克函数性质知36a^2+1/(a^2)-37≥-25，此时a^2=1/6属于(1/16,1)满足条件，即36a^2+1/(a^2)-37在a^2属于(1/16,1)上的最小值是-25，当a^2→1/16+时，36a^2+1/(a^2)-37→18。
25-37<0；
而当a^2→1-时，36a^2+1/(a^2)-37→0-<0
于是36a^2+1/(a^2)-37在a^2属于(1/16,1)上恒<0
我们把u重新写成
u=1+35/[37-(36a^2+1/(a^2))]这样就保证了35/[37-(36a^2+1/(a^2))]恒正
于是u≥1+35/25=12/5,当且仅当a=±1/√6时等号成立，也即x=√6/3,y=-√6/2或者x=-√6/3,y=√6/2时成立。
收起
