说明理由
已知点D(0,2).直线l为y=2x+b过A(3,5)点,当x＞0时,在直线y=kx(0＜k＜1)和直线l上是否存在点P和点Q.使四边形OPQD为特殊的梯形?若存在,求出P,Q的坐标;若不存在,说明理由.
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∵ 直线l为y=2x+b过A(3,5)点, ∴ b=-1,假设存在点P和点Q,使四边形OPQD为等腰梯形,DQ∥OP,OD=PQ。
直线l的方程为y=2x-1,设DQ的方程为y=kx+2,联立得Q点坐标(3/(2-k),(k+4)/2-k))。
直线OP的倾斜角=α。 ∵ ∠QDO=90°+α=∠DQP, ∴ 直线PQ的倾斜角=90°+2α, ∴ PQ的斜率=tan(90°+2α)=-cot2α=(k^-1)/(2k),PQ的方程: y-(k+4)/(2-k)=(k^-1)/(2k)][x-3/(2-k)],与y=kx联立得P点坐标x=(-k^+8k+3)/(2-k)(3k^-1),y=kx=(-k^3+8k^+3k)/(2-k)(3k^-1)。
∵ |PQ|^=|OD|^=4, ∴ [(-k^+8k+3)/(2-k)(3k^-1)-3/(2-k)]^+[=(-k^3+8k^+3k)/(2-k)(3k^-1)]^=4,化简得k^=1, ∵ 0<k<1, ∴ 符合条件的点P,Q不存在,如图所示。
但当k=1时,却存在P(5。 5),Q(3,5),使四边形OPQD为等腰梯形。 。
直线OP的倾斜角=α。 ∵ ∠QDO=90°+α=∠DQP, ∴ 直线PQ的倾斜角=90°+2α, ∴ PQ的斜率=tan(90°+2α)=-cot2α=(k^-1)/(2k),PQ的方程: y-(k+4)/(2-k)=(k^-1)/(2k)][x-3/(2-k)],与y=kx联立得P点坐标x=(-k^+8k+3)/(2-k)(3k^-1),y=kx=(-k^3+8k^+3k)/(2-k)(3k^-1)。
∵ |PQ|^=|OD|^=4, ∴ [(-k^+8k+3)/(2-k)(3k^-1)-3/(2-k)]^+[=(-k^3+8k^+3k)/(2-k)(3k^-1)]^=4,化简得k^=1, ∵ 0<k<1, ∴ 符合条件的点P,Q不存在,如图所示。
但当k=1时,却存在P(5。 5),Q(3,5),使四边形OPQD为等腰梯形。 。
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