1)DE=DA; 2)平面BDM垂直平面ECA; 3)平面DEA垂直平面ECA
三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证
1)DE=DA;
设正△ABC的边长为2a，那么，EC=2a，DB=a
取EC中点F，连接BF
那么，CF=a
所以，CF=BD=a
又，EC⊥面ABC，BD//CE
所以，BD⊥面ABC
所以，四边形BCFD为矩形
那么，DF=BC=2a
所以，在Rt△ABD和Rt△DFE中，根据勾股定理就有：
DA^2=AB^2+BD^2=(2a)^2+a^2=5a^2
DE^2=DF^2+EF^2=(2a)^2+a^2=5a^2
所以，DA=DE=√5a
2)平面BDM垂直平面ECA;
取AC中点N...全部
三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证
1)DE=DA;
设正△ABC的边长为2a，那么，EC=2a，DB=a
取EC中点F，连接BF
那么，CF=a
所以，CF=BD=a
又，EC⊥面ABC，BD//CE
所以，BD⊥面ABC
所以，四边形BCFD为矩形
那么，DF=BC=2a
所以，在Rt△ABD和Rt△DFE中，根据勾股定理就有：
DA^2=AB^2+BD^2=(2a)^2+a^2=5a^2
DE^2=DF^2+EF^2=(2a)^2+a^2=5a^2
所以，DA=DE=√5a
2)平面BDM垂直平面ECA;
取AC中点N，连接BN、MN
因为△ABC为正三角形，所以：BN⊥AC
又，M是AE中点
所以，MN是△ACE的中位线
所以，MN//CE
而，CE⊥面ABC
所以，MN⊥面ABC
所以，MN⊥AC
所以，AC⊥面BDMN
而，AC∈面ACE
所以，面BDM⊥面ACE
3)平面DEA垂直平面ECA
连接CM、CD
因为EC⊥面ABC，所以，△ACE为直角三角形
又，CE=CA
所以，△ACE为等腰直角三角形
而，M为AE中点
所以，CM⊥AE，且CM=AE/2
在Rt△ACE中，AC=CE=2a
所以，AE=2√2a
所以，CM=AE/2=√2a
且，AM=EM=√2a
由(1)的证明知道：DE=DA=√5a
所以，△DAE为等腰三角形
而，M为AE中点
所以，DM⊥AE
所以，△DME为直角三角形
所以，DM^2=DE^2-ME^2=(√5a)^2-(√2a)^2=3a^2
且，∠DMC即为面DAE和面CAE所成的角
在Rt△DBC中，由勾股定理有：DC^2=DB^2+BC^2=a^2+(2a)^2=5a^2
所以，在△DMC中，就有：
CM^2+DM^2=(√2a)^2+3a^2=5a^2=DC^2
所以，△DMC为直角三角形
所以，面DAE⊥面CAE。
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