不定方程组求方程组
x+y=zt
x+t=xy
的正整数解.
由于z与t对称。不妨设z≥t。如果t≥3,则x+y≥3z。
而xy-(x+y)+1=(x-1)(y-1)≥0,故xy≥3z-1。从而z+t≥3z-1。
据此,(t+1)/2≥z≥t,即2t≤t+1,故t≤1。 与t≥3矛盾。因此t≤2。
类似地,若设y≤x,则有y≤2。则分类讨论如下：
(1)t=1,y=1。原方程组为
x+1=z
z+1=x
相加得矛盾；
(2)t=1,y=2,由方程组
x+2=z
z+1=2x
解得x=3,y=5
(3)t=2,y=2,由
x+1=2z
z+2=x
解得x=5,y=3
(4)t=4,y=2。 由
x+2=2z
z+2=2x
解得x=2,y=2
故原方...全部
由于z与t对称。不妨设z≥t。如果t≥3,则x+y≥3z。
而xy-(x+y)+1=(x-1)(y-1)≥0,故xy≥3z-1。从而z+t≥3z-1。
据此,(t+1)/2≥z≥t,即2t≤t+1,故t≤1。
与t≥3矛盾。因此t≤2。
类似地,若设y≤x,则有y≤2。则分类讨论如下：
(1)t=1,y=1。原方程组为
x+1=z
z+1=x
相加得矛盾；
(2)t=1,y=2,由方程组
x+2=z
z+1=2x
解得x=3,y=5
(3)t=2,y=2,由
x+1=2z
z+2=x
解得x=5,y=3
(4)t=4,y=2。
由
x+2=2z
z+2=2x
解得x=2,y=2
故原方程组的解为
x=3,y=2,z=5,t=1
x=5,y=1,z=3,t=2
x=2,y=2,z=2,t=2
此外,由于z≥t和x≥y的假设破坏了对称性,故还有另外的六组解
x=3,y=2,z=1,t=5
x=2,y=3,z=5,t=1
x=2,y=3,z=1,t=5
x=1,y=5,z=3,t=2
x=1,y=5,z=2,t=3
x=5,y=1,z=2,t=3
因此有九解。
。收起
