已知函数.求函数的零点的个数;()令,若函数在内有极值,求实数的取值范围;()在...
已知函数.求函数的零点的个数;()令,若函数在内有极值,求实数的取值范围;()在()的条件下,对任意,,求证:.
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()易知是的零点,从而时,,设,利用导数及零点判定定理可求函数零点个数;()化简得,其定义域是,求导得,令,则问题转化为有两个不同的根,,从而,且一根在内,不妨设,再由,得,根据零点判定定理可知只需,由此可求的范围;()由()可求在内的最小值为,在内的最大值为,由()同时可知,,,,故,令,利用导数可判断在内单调递增,从而有,整理可得结论; 解:(),是的一个零点,当时,,设,',在上单调递增。
又,,故在内有唯一零点,因此在内有且仅有个零点;(),其定义域是,则,设,要使函数在内有极值,则有两个不同的根,,,得或,且一根在内,不妨设,又,,由于,则只需,即,解得;()由()可知,当时,,递减,时,,递增,故在内的最小值为,即时,,又当时,,单调递增,时,,单调递减,故在内的最大值为,即对任意,,由()可知,,,,因此,,设,,在内单调递增,故,即。
本题考查利用导数研究函数的零点,极值,最值,考查转化思想,考查学生综合运用数学知识分析解决问题的能力,综合性强,能力要求比较高。
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又,,故在内有唯一零点,因此在内有且仅有个零点;(),其定义域是,则,设,要使函数在内有极值,则有两个不同的根,,,得或,且一根在内,不妨设,又,,由于,则只需,即,解得;()由()可知,当时,,递减,时,,递增,故在内的最小值为,即时,,又当时,,单调递增,时,,单调递减,故在内的最大值为,即对任意,,由()可知,,,,因此,,设,,在内单调递增,故,即。
本题考查利用导数研究函数的零点,极值,最值,考查转化思想,考查学生综合运用数学知识分析解决问题的能力,综合性强,能力要求比较高。
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