证明
n是整数，n的5次方-n,证明可被30整除
全部回答
因为将n^5-n分解因式为：
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2+1)(n^2-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
因为（n-1）、n、（n+1）是三个连续的整数，其中必定有2的倍数和3的倍数，则必然是6的倍数。
若n=5k+1或n=5k或n=5k+4，其中k是正整数（下同），那么n-1或n或n+1中含因子5，则n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。 若n=5k+2，则: n^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。
若n=5k+3，则： n^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。 。
若n=5k+1或n=5k或n=5k+4，其中k是正整数（下同），那么n-1或n或n+1中含因子5，则n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。 若n=5k+2，则: n^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。
若n=5k+3，则： n^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。 。
证明：（1）当n=0时，显然n^5-n可被30整除。
(2)n为正整数时，
n^5-n
=n(n^4-1)
=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
易知(n-1)n(n+1)能被6整除，故n^5-n能被6整除。
记r=n(mod 5)，r=0,1,2,3,4。 (n-1)n(n+1)(n^2+1) (mod 5) =(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5) 当r=0,1,4时,(r-1)r(r+1)能被5整除； 当r=2,3时，r^2+1能被5整除。
故(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5)=0，所以n^5-n可被30整除。 (3)n为负整数时，记f(n)=n^5-n,则f(n)=-f(-n),由（2）知f(-n) 可被5整除，所以f(n)即n^5-n也可被5整除。
综上所述，n为整数时，n^5-n可被5整除。 。
记r=n(mod 5)，r=0,1,2,3,4。 (n-1)n(n+1)(n^2+1) (mod 5) =(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5) 当r=0,1,4时,(r-1)r(r+1)能被5整除； 当r=2,3时，r^2+1能被5整除。
故(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5)=0，所以n^5-n可被30整除。 (3)n为负整数时，记f(n)=n^5-n,则f(n)=-f(-n),由（2）知f(-n) 可被5整除，所以f(n)即n^5-n也可被5整除。
综上所述，n为整数时，n^5-n可被5整除。 。
类似问题换一批
热点推荐
热度TOP
-
妻子不怀孕岳母教我每天给妻子按摩这有用吗？
203人阅读
-
-
徐州华美吸脂怎么样？
39人阅读
-
能瞒得住吗？。。。
39人阅读
-
义乌哪家男科比较好，义乌常春怎么样？
40人阅读
-
什么方法增高会对身体有伤害？
100人阅读
相关推荐
加载中...