函数解析式的求法有几种
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1,10）、（2,7）和（1,4）三点,那么这个函数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax bx c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x 5。 这种方法是将坐标代入y=ax bx c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax bx c。 二...全部
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1,10）、（2,7）和（1,4）三点,那么这个函数的解析式是_______。
分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax bx c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x 5。 这种方法是将坐标代入y=ax bx c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax bx c。
二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 8x-9的顶点为A,若二次函数y=ax bx c的图像经过A点,且与x轴交于B（0,0）、C（3,0）两点,试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 8x-9的顶点A（2,-1）。
将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a= ∴y=x(x-3),即 y=。 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax bx c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m) k。
在本题中可设y=a(x 1) 4。再将点(1,2)代入求得a=- ∴y=- 即y=- 由于题中只有一个待定的系数a,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x bx c的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函数则b与c分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18。
分析 逆用平移分式,将函数y=x-2x 1的顶点（1,0）先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3,-3）。 ∴y=x =x ∴b=-6,c=6。 因此选（B） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax bx c为x=2时有最大值2,其图象在X轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。
分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d=就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A（1,0）,B（3,0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 8x-6。
六、识图型 例 6 如图1, 抛物线y=与y=其中一条的顶点为P,另一条与X轴交于M、N两点。 （1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点? （2）求两条抛物线的解析式。 解 （1）抛物线y=与x轴交于M,N两点（过程从略）； （2）因y=的顶点坐标为（0,1）, ∴b-2=0,d=1, ∴b=2。
∴Y=。 将点N的坐标与b=2分别代入y= (b 2)x c得c=6。 ∴y= 4x 6 七、面积型 例 7 已知抛物线y=x 的对称轴在 y轴的右侧,且抛物线与 y轴交于Q（0,-3）,与x轴的交点为A、B,顶点为P,ΔPAB的面积为8。
求其解析式。 解 将（0,-3）代入y=得 c=-3。 由弦长公式,得 点P的纵坐标为 由面积公式,得 解得 因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2。 所以解析式为y= 八、几何型 例 8 已知二次函数y=-mx 2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形,求其解析式。
解 由弦比公式,得AB= 顶点C的纵坐标为- ∵ΔABC为等边三角形 ∴ 解得m=4故所求解析式为 y= 或y= 九、三角型 例 9已知抛物线y=的图象经过三点（0,）、（sinA,0）、（sinB,0）且A、B为直角三角形的两个锐角,求其解析式。
解 ∵A B=90,∴sinB=cosA。 则由根与系数的关系,可得 将（0,）代入解析式,得c= （1）,得 ∴ ∵-b∴b=- 所以解析式为y= 十、综合型 例 10 如图2,已知抛物线y=-与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点, 若∠ACB=90,且tg∠CAO-tg∠CBO=2,求其解析式． 解 设A,B两点的横坐标分别为x,则q=(-x 由ΔAOC～ΔCOB,可得OC=OA·OB, ∴q=q解得q=1,q=0（舍去）, 又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得 即 ∴x x=-2xx 即 p=2p=2 所以解析式为y=-x 2x 1 函数及其图象 例1。
二次函数性质的应用 例2。利用二次函数性质求点的坐标 例3。求二次函数解析式 例4。求二次函数解析式 二、同步测试 三、提示与答案 -------------------------------------------------------------------------------- 例6。
已知抛物线y=ax2 bx c如图所示,对称轴是直线x=-1 (1)确定a。b。c。b2-4ac的符号, (2)求证a-b c＜o ; (3)当x取何值时,y随x值的增大而减小。
(1)由抛物线开口向上,得出a＞0,由抛物线与y轴交点坐标为(O,C),而此点在x轴下方,得出c＜0,又由抛物线的对称轴是x=-1,在y轴左侧,得出b与a同号∴b＞0。 抛物线与x轴有两个交点,即ax2 bc c=0有两个不等的实根,∴b2-4ac＞0 (2)当x=-1时,y=a-b c＜0 (3)当x＜-1时,y随x值的增大而减小。
例7。已知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位,当x=3时,y取得最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P,使ΔPAB的面积等于12个平方单位,求P点坐标。
分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3,根据抛物线的对称性,又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4,可知其与x轴交点为(1,0),(5,0) (1)∵当x=3时 y取得最小值-2。即抛物线顶点为(3,-2)。
∴设二次函数解析式为 y=a(x-3)2-2 又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4,∴图象与x轴交于(1,0)和(5,0)两点 ∴a(1-3)2-2=0 ∴a= ∴所求二次函数解析式为y=x2-3x (2)∵ΔPAB的面积为12个平方单位,｜AB｜=4 ∴×4×｜Py｜=12 ∴｜Py｜=6 ∴Pg=±6 但抛物线开口向上,函数值最小为-2,∴Py=-6应舍去,∴Pg=6 又点P在抛物线上, ∴6=x2-3x x1=-1,x2=7 即点P的坐标为(-1,6)或(7,6) 说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1,x2,运用公式｜x1-x2｜=,会使运算繁琐。
这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标,比较简便。 例8。如图,矩形EFGH内接于ΔABC。E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上,AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HE为x(cm)。
试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式,并回答当矩形的宽取多长时,它的面积最大,最大面积是多少? ∵四边形EFGH是矩形 ∴HG∥AC ∴ΔABC∽ΔHBG 设BD交HG于M 则BD与BM分别是ΔABC和ΔHBG的高。
∴ ∵HG∥AC, ∴MD=HE=x,BM=6-x ∴, ∴HG= ∵y=S矩形EFGH=HE*HG ∴y=x* 整理得y=-x2 8x ∵BD=6 ∴自变量x的取值范围是0＜x＜6 ∵x2的系数为-＜0, ∴y有最大值 当x=-=3时, y最大值==12 ∴所求函数的解析式为y=-x2 8x(0＜x＜6),当它的宽为3cm时,矩形EFGH面积最大,最大面积为12cm2。
例9。二次函数y=ax2 bx-5的图象的对称轴为直线x=3,图象与y轴相交于点B,设x1,x2是方程ax2 bx-5=0的两个根,且x12 x22=26,又设二次函数图象顶点为A, (1)求二次函数的解析式 (2)求原点O到直线AB的距离 解(1)如图 ∵-=3 ∴-=6 又x1 x2=-=6 x1*x2=- 由已知,有x12 x22=26, ∴(x1 x2)2-2x1x2=26 即(-)2 =26,=26-36 解得a=-1 ∴解析式为y=-x2 6x-5=-(x-3)2 4 (2)∵OB=5,OC=4,AC=3 ∴AB==3 又OA==5 ∴ΔAOB为等腰三角形,作OD⊥AB于D, ∴BD= ∴OD=, 即原点O到直线AB的距离为 三、同步测试： 选择题： 1。
如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点,那么P点坐标是( ) (A)。(-2,-1) (B)(-3,-1) (C)(-3,-2) (D)(-4,-2) 2。若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上,则a与b的关系是() (A)a=b (B)a=-b (C)a=｜b｜ (D)｜a｜=b 3。
点P(x,y)在第二象限,且｜x｜=2,｜y｜=3,则点P关于x轴对称点的坐标为( ) (A)(-2,3) (B)(2,-3) (C)(-2,-3) (D)(2,3) 4。函数y=中,自变量x的取值范围是( ) (A)x≤2 (B)x＜2 (C)x≠2 (D)x＞2 5。
函数y=中,自变量x的取值范围是( ) (A)x＞-2且x≠1 (B)x≥-2且x≠1 (C)x≥-2且x≠±1 (D)x≥-2或x≠±1 6。在下列函数中,成正比例函数关系的是( ) (A)圆的面积与它的周长 (B)矩形面积是定值,矩形的长与宽 (C)正方形面积与它的边长 (D)当底边一定时,三角形面积与底边上的高 7。
函数y=k(x-1)与y=(k＜o)在同一坐标系下的图象大致如图( ) 8。如果直线y=kx b的图象过二、三、四象限,那么( ) (A)k＞0,b＞0 (B) k＞0,b＜0 (C)k＜0,b＞0 (D)k＜0,b＜0 9。
对于抛物线y=- x-x2,下列结论正确的是( ) (A)开口向上,顶点坐标是(,0) (B)开口向下,顶点坐标是(,0) (C)开口向下,顶点坐标是(-,) (D)开口向上,顶点坐标是(-,-) 10。
若a＞0,b＜0则函数y=ax2 bx的图象是下面图中的( ) 11。已知：二次函数y=ax2 bx c的图象如图,则( ) (A)a＞0,b＞0, c＞0,Δ＜0 (B)a＜0,b＞0, c＜0,Δ＞0 (C)a＞0,b＜0, c＜0,Δ＞0 (D)a＜0,b＜0, c＞0,Δ＜0 12。
把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,所得到的函数图象的解析式为( ) (A)y=2x2 4x-8 (B)y=2x2-8x 8 (C)y=2x2 4x-2 (D)y=2x2-8x-2 填空题 13。
点A(,-5)到x轴的距离是____；到y轴的距离是____；到原点的距离是____。 14。直线y=kx b与直线y=-x平行,且通过点(2,-3),则k=__,在y轴上的截距为___。 15。
一次函数的图象经过(1,-5)点且与y轴交于(0,-1)点,则一次函数的解析式为____。 16。已知抛物线的顶点为M(4,8)且经过坐标原点,则抛物线所对应的二次函数的解析式为____。 解答题： 17。
一次函y=x 分别与x轴,y轴交于点A,B,点C(0,a)且a＜0,若∠BAC为直角,求图象过点C与点A的一次函数解析式。 18。已知如图,在ΔABC中,AB=4,AC=6,D是AB边上一点,E是AC边上一点,∠ADE=∠C,设DB=x,AE=y。
(1)求出y与x的函数关系式； (2)画出这个函数图象。 19。在直角坐标系xoy中,直线l过点(4,0),且与x,y轴围成的直角三角形面积为8,一个二次函数图象过直线l与两坐标轴的交点,且以x=3为对称轴,开口向下。
求二次函数的解析式及函数的最大值。 20。已知抛物线y=x2-mx (2m 3)(m是不小于-2的整数)与x轴相交于A、B两点,且A、B两点间的距离恰是顶点到y轴距离的2倍。 (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)如果D(t,2)是抛物线上一点且在第一象限,求D点坐标。
四。提示与答案 1。B 2。B 3。C 4。B 5。C 6。D 7。A 8。D 9。B 10。C 11。B 12。A 13。5,3,2 14。-,-2 15。y=-4x-1 16。y=-x2 4x 17。
y=-x- 18。(1)y=-x (0≤x＜4)；(2)图略 19。y=-x2 3x-4,最大值为。 20。(1)y=x2 2x-1;(2)D(1,2)。收起
