数学上三角形的欧拉定理如何证明?

欧拉定理的具体内容是什么

V F-E=2的证明方法1：（利用几何画板）　　逐步减少多面体的棱数,分析V F-E 　　先以简单的四面体ABCD为例分析证法。　　去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。 因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V F1-E=1 　　1．去掉一条棱,就减少一个面,V F1-E不变。依次去掉所有的面,变为“树枝形”。　　2．从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V F1-E不变,直至只剩下一条棱。 　　以上过程V F1-E不变,V F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V F-E =2。　　对任意的简单多面体,运用这...全部

  V F-E=2的证明方法1：（利用几何画板）　　逐步减少多面体的棱数,分析V F-E 　　先以简单的四面体ABCD为例分析证法。　　去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。
  因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V F1-E=1 　　1．去掉一条棱,就减少一个面,V F1-E不变。依次去掉所有的面,变为“树枝形”。　　2．从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V F1-E不变,直至只剩下一条棱。
  　　以上过程V F1-E不变,V F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V F-E =2。　　对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和　　设多面体顶点数V,面数F,棱数E。
  剪掉一个面,使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα 　　一方面,在原图中利用各面求内角总和。　　设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为：　　Σα = [(n1-2)·180度 (n2-2)·180度 … (nF-2) ·180度] 　　= (n1 n2 … nF -2F) ·180度 　　=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1） 　　另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和。
  　　设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·180角,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。
  　　所以,多面体各面的内角总和：　　Σα = (V-n)·360度 (n-2)·180度 (n-2)·180度 　　=（V-2）·360度（2） 　　由(1)(2)得：(E-F) ·360度=（V-2）·360度 　　所以 V F-E=2。
  方法3 用拓扑学方法证明欧拉公式图尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。　　欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体）,假设F,E和V分别表示面,棱（或边）,角（或顶）的个数,那末 　　F-E V=2。
  　　证明 如图（图是立方体,但证明是一般的,是“拓朴”的）：　　1．把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。　　2．去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。
  假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′ V′=1。　　3．对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。
  每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F′-E′ V′不变。因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′ V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。　　4．如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC。
  这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′ V′也没有变。　　5．如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF。
  这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′ V′仍没有变。　　6．这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子。这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′ V′=1-3 3=1。
  　　7．因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样。　　8．如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点。
  因此F′-E′ V′仍然没有变。　　即F′-E′ V′=1 　　成立,于是欧拉公式：　　F-E V=2 　　得证。收起