高等数学5求证双曲线y=1/x上任意点的切线与两个坐标轴所围成的三角形面积恒等于2
证明:y'=(1/x)'=-x^(-2),
1。(特殊)取y=1/x上一点(1,1)则y'=-1,即过(1,1)的切线的斜率为-1。
切线为y=-x+2,与二坐标轴交点为(0,2),(2,0)。 这时,所成三角形面积为2。
2。(一般)取y=1/x上任一点(a,b)则y'=-a^(-2),即过(a,b)的切线的斜率为-a^(-2)。
切线为y=-a^(-2)x+(b+1/a),与二坐标轴交点为(0,b+1/a),(a^b+a,0)。 这时,所成三角形面积为S=(1/2)*|b+1/a|*|a^b+a|=(1/2)*(ab+1)^2。
因为ab=1,所以S=2。
结论,双曲线y=1/...全部
证明:y'=(1/x)'=-x^(-2),
1。(特殊)取y=1/x上一点(1,1)则y'=-1,即过(1,1)的切线的斜率为-1。
切线为y=-x+2,与二坐标轴交点为(0,2),(2,0)。
这时,所成三角形面积为2。
2。(一般)取y=1/x上任一点(a,b)则y'=-a^(-2),即过(a,b)的切线的斜率为-a^(-2)。
切线为y=-a^(-2)x+(b+1/a),与二坐标轴交点为(0,b+1/a),(a^b+a,0)。
这时,所成三角形面积为S=(1/2)*|b+1/a|*|a^b+a|=(1/2)*(ab+1)^2。
因为ab=1,所以S=2。
结论,双曲线y=1/x上任意点的切线与两个坐标轴所围成的三角形面积恒等于2
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