已知函数,,且函数在上单调递减.若在上恒成立,求的取值范围;若关于的方程在区间上...
求出函数的导数,推出,通过在上恒成立,转化为,求的取值范围;若关于的方程在区间上有两个根(为自然对数的底数),转化为函数的图象与轴交点个数,通过导数判断函数的单调性,求出最大值,得到方程有两个根的条件,求出的取值范围。 解:由题意得,所以,因在上单调递减,所以在上恒成立,即在上恒成立,得。 (分)因在上单调递减,所以,又在上恒成立,故只需恒成立所以,又,所以,故由知,所以方程为,设,则方程根的个数即为函数的图...全部
求出函数的导数,推出,通过在上恒成立,转化为,求的取值范围;若关于的方程在区间上有两个根(为自然对数的底数),转化为函数的图象与轴交点个数,通过导数判断函数的单调性,求出最大值,得到方程有两个根的条件,求出的取值范围。
解:由题意得,所以,因在上单调递减,所以在上恒成立,即在上恒成立,得。
(分)因在上单调递减,所以,又在上恒成立,故只需恒成立所以,又,所以,故由知,所以方程为,设,则方程根的个数即为函数的图象与轴交点个数,因,当时,,所以在上为增函数,当时,,所以在和上为减函数,所以在上为增函数,在上为减函数,故在的最大值为,又,,,方程有两根满足:,得,即当时,原方程有两解。
本题是中档题,考查函数导数在解决恒成立问题,以及方程的根的应用,注意转化思想的应用,恒成立的应用,是难度较大的题目,常考题型。
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