数学圆周角圆周角的所有理论知识
圆周角定义
顶点在圆周上,并且两边为圆的两条弦的角叫做圆周角(angle in a circular segment)(Inscribed Angle)。圆周角的顶点在圆上,它的两边为圆的两条弦。
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圆周角定理及其推论
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。[1]
证明略(分类思想,3种,半径相等)
①圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等。(不在同圆或等圆中其实也...全部
圆周角定义
顶点在圆周上,并且两边为圆的两条弦的角叫做圆周角(angle in a circular segment)(Inscribed Angle)。圆周角的顶点在圆上,它的两边为圆的两条弦。
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圆周角定理及其推论
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。[1]
证明略(分类思想,3种,半径相等)
①圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等。(不在同圆或等圆中其实也相等的。注:仅限这一条。[1])
④半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑥在同圆或等圆中,圆周角相等弧相等弦相等。
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几个命题的证明
命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外,将点A、B、C分别与点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C。
(图略,证明:三角形一外角等于不相邻两内角和。)
命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半;顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半。
证明:
命题2的证明
[2]如图,过C作CE//AB,交圆于E,
则有∠P=∠DCE,弧AC=弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等)
而∠DCE的度数等于弧DE的一半,弧DE=弧BD-弧BE=弧BD-弧AC
所以∠DCE的度数等于“弧BD-弧AC”的一半
即“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半” 另外也可以连接BC,则∠P=∠BCD-∠B
∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半
∠B的度数等于弧AC的度数的一半
同样得“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半”
圆内角的证明完全类似:
过C作CE//AB,交圆于E,
则有∠APC=∠C,弧AC=弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等)
而∠C的度数等于弧DE的一半,弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC
所以∠APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半
即“顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数和的一半”
另外也可以连接BC进行证明
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典型例题讲解
已知:如图,AB是⊙O的直径,AC、AD为 弦,且AD平分∠BAC,若AB=10,AC= 6,
求AD的长。
解:连结BD并延长交AC的延长线于点E,连结BC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
∴BC⊥AE,AD⊥BE
又∵AD平分∠BAC
∴AE=AB,DE=BD
∵AB= 10,AC= 6
∴CE= AE-AC= 4 ,
在Rt△ABC中 BC=8
在Rt△BCE中,BE=4√5
∴BD=2√5
在Rt△ABD中,
∴AD= 4√5
。
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