二次函数f（x）与不等式
证明:suppose f(x)=a(x2)+bx+c,then f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b-c,f(0)=c,
so,a=f(1)/2 +f(-1)/2 -f(0), b=f(1)/2 -f(-1)/2, c=f(0)。
then,f(x)=a(x2)+bx+c=f(1)*(0。5(x2)+0。5x)+f(-1)*(0。5(x2)-0。5x)+f(0)*(1-(x2)）
为了说话方便，令f(-1)=m,f(1)=n,f(0)=p,x2表示x的平方。 则有f(x)=m*x(x-1)/2+n*x(x+1)/2+p*(1-x2)。其中/x/<=1,/m/<=1,/n/<=1,...全部
证明:suppose f(x)=a(x2)+bx+c,then f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b-c,f(0)=c,
so,a=f(1)/2 +f(-1)/2 -f(0), b=f(1)/2 -f(-1)/2, c=f(0)。
then,f(x)=a(x2)+bx+c=f(1)*(0。5(x2)+0。5x)+f(-1)*(0。5(x2)-0。5x)+f(0)*(1-(x2)）
为了说话方便，令f(-1)=m,f(1)=n,f(0)=p,x2表示x的平方。
则有f(x)=m*x(x-1)/2+n*x(x+1)/2+p*(1-x2)。其中/x/<=1,/m/<=1,/n/<=1,/p/<=2。事实上这些变量之间并没有什么本质上的区别，因此我们可以将f(x)看成是关于x,m,n,p的函数f(x,m,n,p)。
如果先将函数看成是关于m的一次函数，由一次函数的单调性可知，只有当m为1或-1，f才能取得最值。同理，只有当n为1或-1，p为2或-2， f才可能取得最值。这样的组合一共有八种情况，实际上是四对情况：f=(x2)-2,f=3(x2)-2,f=2(x2)+x-2,f=2(x2)-x-2,以及这四种情况的相反数。
在/x/<=1的范围内,分别考察它们的最值，这些最值中的最小值为f的最小值，最大值为f的最大值。由此可得，最小值为-17/8，最大值为17/8。由此可得/f/<=17/8。证毕。
此题有两个关键：1。
将函数f表示为已知量x,m,n,p的函数。2。变换视角，将x,m,n,p平等看待。其实，含参变量的二次函数问题有很多都能用这种方法解决。
。收起
