证明线段相等
已知：如图：在△ABC中，AK⊥BC,垂足为K,
KＥ、KＦ分别垂直于ＡＣ、ＡＢ，垂足分别是Ｅ、Ｆ，
ＮＨ、ＮＳ分别为ＥＣ、ＦＢ的垂直平分线，垂足分别为H、S，相交于Ｎ，
ＮD⊥ＢＣ，垂足为D，
求证：ＢD＝ＣD，
证明：在直角三角形ＡKＣ中，∵KＥ⊥ＡＣ，∴△AKC∽△AEK，
∴∠ＡKＥ＝∠KＣＡ，（1）
在四边形ＦKＥＡ中，∵∠ＡFK＝∠KＥＡ＝９０°，∴Ａ、Ｆ、K、Ｅ四点共圆。 (四边形一组对角和为180°，则四顶点共圆）
连结ＦＥ，得∠ＡＦＥ＝∠ＡKＥ，（同弧上的圆周角相等）
根据（1），∴∠ＡＦＥ＝∠KＣＡ，（等量代换）
∴Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｆ四点共圆。（四边形的一个外角等于了它的...全部
已知：如图：在△ABC中，AK⊥BC,垂足为K,
KＥ、KＦ分别垂直于ＡＣ、ＡＢ，垂足分别是Ｅ、Ｆ，
ＮＨ、ＮＳ分别为ＥＣ、ＦＢ的垂直平分线，垂足分别为H、S，相交于Ｎ，
ＮD⊥ＢＣ，垂足为D，
求证：ＢD＝ＣD，
证明：在直角三角形ＡKＣ中，∵KＥ⊥ＡＣ，∴△AKC∽△AEK，
∴∠ＡKＥ＝∠KＣＡ，（1）
在四边形ＦKＥＡ中，∵∠ＡFK＝∠KＥＡ＝９０°，∴Ａ、Ｆ、K、Ｅ四点共圆。
(四边形一组对角和为180°，则四顶点共圆）
连结ＦＥ，得∠ＡＦＥ＝∠ＡKＥ，（同弧上的圆周角相等）
根据（1），∴∠ＡＦＥ＝∠KＣＡ，（等量代换）
∴Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｆ四点共圆。（四边形的一个外角等于了它的内对角，则四个顶点共圆）
ＢＦ、ＢＣ和ＣＥ都是这圆的弦。
∵ＮＳ⊥ＢＦ，ＢＳ＝ＦＳ；ＮＨ⊥ＣＥ，ＣＨ＝ＥＨ。
∴点Ｎ为该圆的圆心。（同圆两弦的垂直平分线相交于圆心）
∵ＮD⊥ＢＣ，∴ＢD＝ＣD。（圆的直径如果垂直弦就平分弦）
（证毕）
这里有个有关三角形“腰”、“底”的争论，我说点我的看法：
有三条边的闭合图形是三角形。
为叙述方便，我们可以将任意一边称为“底”，另外两边称为“腰”。比如三角形的面积公式，如果我们说“一边乘这边的高除二”虽然也对，但很不方便。所以公式定为“底乘高除二”。至于本题题目的叙述，如果说成“过三角形一边高上的垂足向另外两边作垂线所截得的邻近这一边的两线段……”像是在说绕口令。
有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边就是腰，另外一边就是底。
显然出题人的意见是正确的。
。收起
