能被4整除的数的特征

1～1998，有多少个数字其各个位置上的数字之和能被4整除？

解：先求0～9中的10个数除以4的余数为0,1,2,3的个数A0,A1,A2,A3。 显然，为0的有3个(0,4,8)；为1的有3个(1,5,9)；为2的有2个(2,6)；为3的有2个(3,7)。 即： A0=3 A1=3 A2=2 A3=2 再求0～99中的100个数各位和除以4的余数为0,1,2,3的个数B0,B1,B2,B3。 余数为0的情况： 当其中十位数除以4的余数为0时,个位数除以4的余数必须为0,个数为A0*A0； 当其中十位数除以4的余数为1时,个位数除以4的余数必须为3,个数为A1*A3； 当其中十位数除以4的余数为2时,个位数除以4的余数必须为2,个数为A2*A2； ...全部

  解：先求0～9中的10个数除以4的余数为0,1,2,3的个数A0,A1,A2,A3。 显然，为0的有3个(0,4,8)；为1的有3个(1,5,9)；为2的有2个(2,6)；为3的有2个(3,7)。
  即： A0=3 A1=3 A2=2 A3=2 再求0～99中的100个数各位和除以4的余数为0,1,2,3的个数B0,B1,B2,B3。 余数为0的情况： 当其中十位数除以4的余数为0时,个位数除以4的余数必须为0,个数为A0*A0； 当其中十位数除以4的余数为1时,个位数除以4的余数必须为3,个数为A1*A3； 当其中十位数除以4的余数为2时,个位数除以4的余数必须为2,个数为A2*A2； 当其中十位数除以4的余数为3时,个位数除以4的余数必须为1,个数为A3*A1； 所以0-99中余数为0的个数为B0： B0=A0*A0+A1*A3+A2*A2+A3*A1 =3*3 +3*2 +2*2 +2*3 =25 同理可得： B1=A0*A1+A1*A0+A2*A3+A3*A2 =3*3 +3*3 +2*2 +2*2 =26 B2=A0*A2+A1*A1+A2*A0+A3*A3 =3*2 +3*3 +2*3 +2*2 =25 B3=A0*A3+A1*A2+A2*A1+A3*A0 =3*2 +3*2 +2*3 +2*3 =24 接着求0～999中的1000个数各位和除以4的余数为0,1,2,3的个数C0,C1,C2,C3。
   余数为0的情况： 当其中百位数除以4的余数为0时,个位数与十位数的和除以4的余数必须为0,个数为A0*B0； 当其中百位数除以4的余数为1时,个位数与十位数的和除以4的余数必须为3,个数为A1*B3； 当其中百位数除以4的余数为2时,个位数与十位数的和除以4的余数必须为2,个数为A2*B2； 当其中百位数除以4的余数为3时,个位数与十位数的和除以4的余数必须为1,个数为A3*B1； 所以0-99中余数为0的个数为C0： C0=A0*B0+A1*B3+A2*B2+A3*B1 =3*25 +3*24 +2*25 +2*26 =249 同理可得： C1=A0*B1+A1*B0+A2*B3+A3*B2 =3*26 +3*25 +2*24 +2*25 =251 C2=A0*B2+A1*B1+A2*B0+A3*B3 =3*25 +3*26 +2*25 +2*24 =251 C3=A0*B3+A1*B2+A2*B1+A3*B0 =3*24 +3*25 +2*26 +2*25 =249 再接着求0～1999中的2000个数各位和除以4的余数为0的个数D0。
  显然， 千位数为0时，各位和除以4的余数为0的个数就是低三位的各位和除以4的余数为0的个数C0； 千位数为1时，各位和除以4的余数为0的个数就是低三位的各位和除以4的余数为3的个数C3。
  即 D0=C0+C3=249+249=498 其中0和1999满足条件但不在题目1～1998的范围内，需扣掉,所以 1～1998中各位和除以4的余数为0的数的个数为 D0-2=498-2=496 答：在1～1998中有496个数字其各个位置上的数字之和能被4整除。收起