用洛必达法则求（8）（10）（12）（16）的极限

什么是洛必达法则,用它求极限就是

我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限。这些极限有的存在,有的不存在。通常称这类极限为"未定式"。利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的,本节介绍一种简单而有效的方法——洛必达(L'Hospital)法则。 1。型未定式的极限求法 若当()时,与均趋于0,则称相应的极限为型未定式。 洛必达法则I 若与满足: (1) ,; (2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且; (3) 存在(或为), 则有 (1) 法则I的证明从略。 注 法则I是对时的型未定式给出的,对于()时的型未定式同样适应。 例1 求下列极限: (1) ; (2) 。 解 (1) 该...全部

  我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限。这些极限有的存在,有的不存在。通常称这类极限为"未定式"。利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的,本节介绍一种简单而有效的方法——洛必达(L'Hospital)法则。
   1。型未定式的极限求法 若当()时,与均趋于0,则称相应的极限为型未定式。 洛必达法则I 若与满足: (1) ,; (2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且; (3) 存在(或为), 则有 (1) 法则I的证明从略。
   注 法则I是对时的型未定式给出的,对于()时的型未定式同样适应。 例1 求下列极限: (1) ; (2) 。 解 (1) 该极限为型,故 。 (2) 由于时,,故此极限为型。因此 。
   在利用洛必达法则求极限时,若仍为型未定式,且函数与满足法则I的条件,则可再使用该法则。但在连续应用洛必达法则时,应注意每一步检验是否仍为未定式,不是未定式时不能再用该法则。 例2 求。 解 。
   在利用洛必达法则求极限时,还要注意尽量将式子化简以利于求导。 例3 求极限 (1) ; (2) 。 解 (1) 原式 ; (2) 原式。 2。型未定式的极限求法 若当()时,与均趋于,则称相应的极限为型未定式。
   洛必达法则II 若与满足: (1) ,; (2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且; (3) 存在(或为), 则有 。 注 法则II对于()时的型未定式同样适应。 例4 求极限。
   解 原式。 例5 设,求。 解 当时,对数函数于幂函数()均为增函数且趋于。原极限为型未定式。 。 由例5可知,当时,对数函数的增长速度比幂函数慢。 例6 设,求。 解 由于,指数函数和幂函数当时均为增函数,且当时均趋于。
  故 。 由例6可知,当时,指数函数的增长速度比幂函数快。 在使用洛必达法则求未定式极限时,必须注意一个问题:当不存在时,不一定不存在。 例7 求。 解 此极限为型未定式。若用洛必达法则,则得极限 。
   由于为周期函数,上式的极限不存在,也不为。但是 , 即原极限存在。 一般当用洛必达法则求不出未定式的极限时,要想其他办法求极限。 某些极限可以先化为型或型未定式,再用洛必达法则求极限。
   3。型和型未定式 例8 求下列极限: (1) ; (2) 。 解 (1)这是型未定式,将其变形为 则当时视为型未定式,因此 。 (2) 这是型未定式,可先通分化为型,再求极限。
   。 例9 求极限: (1) ; (2) 。 解 (1) 原式。 (2) 原式 =3。 *4。型未定式 例10 求下列极限: (1) ; (2) 。 解 (1) 这是型未定式,将其变形为 则当时视为型未定式,因此 。
   (2) 这是型未定式,可先通分化为型,再求极限。 。 例11 求极限 (1) ; (2) ; (3) ; (4) 。 解 (1) 原式 。 注。 (2) 原式= ==1。
   (3) 原式=1。 (4) 原式。 。收起