有反正切的差角公式吗?怎么推导出来的?
这个“公式”并不总是对的,因为 arctanx 有一个主值区间的问题。
虽然有 -π/2<arctana<π/2,-π/2<arctanb<π/2,
但是无法保证有 -π/2<arctana-arctanb<π/2。
下面的反例,就充分说明了此式是错误的。
a=-√3,b=√3,(a-b)/(1+ab)=√3,
arctana=-π/3,arctanb=π/3,arctan[(a-b)/(1+ab)]=π/3;
而 arctan[(a-b)/(1+ab)]和arctana-arctanb 显然是不相等的。
这个错误产生的根源是所使用的错误“依据”:arctan[tan(A-B)]=...全部
这个“公式”并不总是对的,因为 arctanx 有一个主值区间的问题。
虽然有 -π/2<arctana<π/2,-π/2<arctanb<π/2,
但是无法保证有 -π/2<arctana-arctanb<π/2。
下面的反例,就充分说明了此式是错误的。
a=-√3,b=√3,(a-b)/(1+ab)=√3,
arctana=-π/3,arctanb=π/3,arctan[(a-b)/(1+ab)]=π/3;
而 arctan[(a-b)/(1+ab)]和arctana-arctanb 显然是不相等的。
这个错误产生的根源是所使用的错误“依据”:arctan[tan(A-B)]=A-B。
本质问题是忽略了 arctanx 有一个主值区间的问题。
尽管有 -π/2<A<π/2,-π/2<B<π/2,但不足以保证-π/2<A-B<π/2。
这个等式 arctan[(a-b)/(1+ab)]=arctana-arctanb 成立的充要条件是:
-π/2<arctana-arctanb<π/2。
最简单的充分条件是: a,b同号。
他可以确保 -π/2<arctana-arctanb<π/2。
但a,b同号,并不是 -π/2<arctana-arctanb<π/2 成立的必要条件。收起