无穷小问题

1.根据定义证明 y=xsin(1/x) 当x→0时为无穷小2.根据定义证明:当x→0时,函数y=(1+2x)/x是无穷大. 问x应满足什么条件,能使∣y∣＞104?

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2007-07-01

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    1、因为|y－0|＝|xsin(1/x)|≤x，所以对于任意小的正数ε，要使得|y－0|＜ε，只要|x|＜ε即可。所以，存在正数δ＝ε，当0＜|x－0|＜δ时，恒有|y－0|＝|xsin(1/x)－0|＜ε。
   所以，y＝xsin(1/x) 当x→0时为无穷小。   2、因为|y|＝|(1＋2x)/x|≥|1/x|－2，所以对于任意大的正数G，要使得|y|＞G，只要|1/x|－2＞G，即|x|＜1/(2＋G)即可。

   所以，存在正数δ＝1/(2＋G)，当0＜|x－0|＜δ时，恒有|y|＝|(1＋2x)/x|＞G。   所以，y＝(1＋2x)/x 当x→0时为无穷大。当0＜|x|＜1/106时，|y|＞104。

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