一道初二证明题如图1，在RT△A
如图1，在RT△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是直线AC上的两动点，且AD=CE，AM⊥BD，垂足为点M。延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F。
①试探求∠EDF与∠DEF的大小关系，并说明理由；
如图
过点A作斜边BC的垂线，垂足为O。 AO交BF于点G
因为△ABC为等腰直角三角形，AO⊥BC
所以，AO平分∠BAC
则，∠BAG=45°=∠C…………………………………………（1）
且，CA=AB……………………………………………………（2）
又，∠CAN+∠MAB=90°
AM⊥BF，所以：∠MAB+∠ABG=90°
所以，∠CAN=∠ABG………………...全部
如图1，在RT△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是直线AC上的两动点，且AD=CE，AM⊥BD，垂足为点M。延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F。
①试探求∠EDF与∠DEF的大小关系，并说明理由；
如图
过点A作斜边BC的垂线，垂足为O。
AO交BF于点G
因为△ABC为等腰直角三角形，AO⊥BC
所以，AO平分∠BAC
则，∠BAG=45°=∠C…………………………………………（1）
且，CA=AB……………………………………………………（2）
又，∠CAN+∠MAB=90°
AM⊥BF，所以：∠MAB+∠ABG=90°
所以，∠CAN=∠ABG……………………………………………（3）
由(1)(2)(3)知，△CAN≌△ABG（ASA）
所以，CN=AG…………………………………………（4）
又∠DAG=∠C=45°……………………………………（5）
CD=AE…………………………………………………（6）
由(4)(5)(6)知，△CEN≌△ADG（SAS）
所以，∠CEN=∠ADG
而，∠CEN=∠DEF，∠ADG=∠EDF
所以，∠DEF=∠EDF
②若D、E运动到如图2所示，其它条件不变，∠EDF与∠DEF的大小关系存在吗？试说明理由；
仍然同上，过点A作斜边BC的垂线，垂足为O，AO交BD于点G
因为△ABC为等腰直角三角形，AO⊥BC
所以，AO为∠BAC平分线，且点O为BC中点
即：∠DAG=∠45°=∠ECN………………………………………（1）
AO=BO=CO…………………………………………………………（2）
已知AM⊥BD
所以，∠MAG+∠AGM=90°
而，∠AGM=∠BGO
所以，∠MAG+∠BGO=90°
而，∠BGO+∠GBO=90°
所以，∠MAG=∠GBO
即，∠NAO=∠GBO………………………………………………（3）
又∠AON=∠BOG=90°……………………………………………（4）
由(2)(3)(4)知，△AON≌△BOG（ASA）
所以，ON=OG
而，AO=CO
所以，AO-ON=CO-OG
即，AG=CN………………………………………………………（5）
已知AD=CE………………………………………………………（6）
由(1)(5)(6)知，△DAG≌△ECN（SAS）
所以，∠ADG=∠CEN
即，∠DEF=∠EDF
③如图3，当D、E运动到图3所示位置，试探求∠EDF与∠DEF的大小关系，并说明理由。
同理可证
辅助线同上：过点A作斜边BC的垂线，垂足为O，AO的延长线与BD相交于G
那么，首先证明Rt△AON≌RtBOG（AAS）
得到ON=OG
那么，AG=AO+OG，CN=CO+ON
所以，AG=CN
而，∠DAG=∠ECN=45°
且已知AD=CE
所以，△DAG≌△ECN（SAS）
所以，∠ADG=∠CEN
即，∠EDF=∠DEF。
收起
