求导数 和微分

导数和微分求下列函数的n阶导数:(

求下列函数的n阶导数: (1) y=ln(1+x) (2) y=(sinx)^2 (3) y=xe^x (4) y=1/(1+x)^(1/2) 1）y=ln(1+x) y'=1/(x+1) y''=[0-1]/(x+1)^2=-1/(x+1)^2 y'''=[0-(-1)*2(x+1)]/(x+1)^4=2/(x+1)^3 y=[0-2*3(x+1)^2]/(x+1)^6=-6/(x+1)^4 …… 所以： y=(-1)^(n+1)*[(n-1)(n-2)]/(x+1)^n（n≥3） 2)y=(sinx)^2 y'=2sinx*cosx=sin2x y''=(sin2x)'=2cos2x=...全部

  求下列函数的n阶导数: (1) y=ln(1+x) (2) y=(sinx)^2 (3) y=xe^x (4) y=1/(1+x)^(1/2) 1）y=ln(1+x) y'=1/(x+1) y''=[0-1]/(x+1)^2=-1/(x+1)^2 y'''=[0-(-1)*2(x+1)]/(x+1)^4=2/(x+1)^3 y=[0-2*3(x+1)^2]/(x+1)^6=-6/(x+1)^4 …… 所以： y=(-1)^(n+1)*[(n-1)(n-2)]/(x+1)^n（n≥3） 2)y=(sinx)^2 y'=2sinx*cosx=sin2x y''=(sin2x)'=2cos2x=2sin(2x-π/2) y'''=-4sin2x=4sin(2x-π) y=-8cos2x=8cos(2x-3π/2) y=16sin2x …… 所以： y=2^(n-1)*sin[2x-(n-1)π/2] 3)y=xe^x y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x y''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x y'''=e^x+(2+x)e^x=(3+x)e^x …… 所以： y=(n+x)e^x 4)y=1/(1+x)^(1/2)=(1+x)^(-1/2) y'=(-1/2)(1+x)^(-3/2) y''=(-1/2)(-3/2)(1+x)^(-5/2) y'''=(-1/2)(-3/2)(-5/2)(1+x)^(-7/2) …… 所以： y=(-1)^n*(2n+1)!/[n!*2^(2n+1)]*(1+x)^[-(2n+1)/2] 其中，对于： (1/2)*(3/2)=(1*3)/2^2=[(1*2*3)/(2*1)]/2^2=[3!/(2*1!)]/2^2 =3!/[1!*2^3] (1/2)*(3/2)*(5/2)=(1*3*5)/2^3=[(1*2*3*4*5)/(2*4)]/2^3 =[5!/2^2*(1*2)]/2^3 =5!/[2!*2^5] (1/2)*(3/2)*(5/2)*(7/2)=(1*3*5*7)/2^4 =[(1*2*3*4*5*6*7)/(2*4*6)]/2^4 ={7!/[2^3(1*2*3)]}/2^4 =7!/[3!*2^7]。
  收起