1、f(x,y)=√|xy|=(xxyy)^(1/4)是初等函数,定义域是整个平面,所以它在整个平面内连续,当然在原点处连续。
2、因为[f(△x,0)-f(0,0)]/(△x)=0,令△x→0极限为0,即f(x,y)在原点处关于x的偏导数存在,且等于0;类似可得,f(x,y)在原点处关于y的偏导数存在,且等于0。
3、如果函数在原点处可微,则dz=0,
且△z-dz=√|△x△y|应该是ρ=√(△x^2+△y^2)的高阶无穷小,
但(√|△x△y|)/ρ当令△y=△x,而△x→0时的极限等于1/√2≠0,所以函数在原点处不可微。