关于随机变量的期望的一道题！
你先跟我说我求的结果是不是对的?
解题方法: 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的
将10个球拿一次所需要的次数分解为每拿一个球所需要的次数,引入随机变量Xi(i=1,2,3。 。。10)为第i个球拿出一次需要的次数
则有X=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10
先球X1的数学期望
由题意
P{X1=1}=1/10
(注: 首先你要明白10个球中拿每个球的机率是相等的,则10球里拿中Xi的概率就是1/10)
P{X1=2}=(9/10)*(1/10)
(注: 需要拿2次,证明第1次没拿中Xi,而没拿中...全部
你先跟我说我求的结果是不是对的?
解题方法: 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的
将10个球拿一次所需要的次数分解为每拿一个球所需要的次数,引入随机变量Xi(i=1,2,3。
。。10)为第i个球拿出一次需要的次数
则有X=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10
先球X1的数学期望
由题意
P{X1=1}=1/10
(注: 首先你要明白10个球中拿每个球的机率是相等的,则10球里拿中Xi的概率就是1/10)
P{X1=2}=(9/10)*(1/10)
(注: 需要拿2次,证明第1次没拿中Xi,而没拿中的概率是9/10,由于是取出再放回,则第2次拿时还是10个球,同上,第2次拿中的概率是1/10,则2次才拿中的概率不就是(9/10)*(1/10)嘛)
P{X1=3}=(9/10)^2*(1/10)
(注: 需要拿3次,证明前两次没拿中,第1次没拿中的概率是9/10,将球放回后,第2次没拿中的概率也是9/10,将球放回后,第3次拿中的概率是1/10,则3次才拿中的概率就是(9/10)^2*(1/10) )
P{X1=4}=(9/10)^3*(1/10)
(注: 原理同上类推)
。
。。。。。
P{X1=n}=(9/10)^(n-1)*(1/10)
。。。。。。。
则E(X1)=1*(1/10)+2*(9/10)*(1/10)+3*(9/10)^2*(1/10)+…………
+n*(9/10)^(n-1)*(1/10)+…………
则E(X1)=(1/10)*[1+2*(9/10)+3*(9/10)^2+…+n*(9/10)^(n-1)+…]
注: 求期望和方差时常用的公式(公式推导过程在附件里)
a+2aq+3aq^2+4aq^3+……naq^(n-1)+……=a/[(1-q)^2]
则E(X1)=10
同样的方法求E(X2),E(X3)…求出来的结果都等于10，因为每次抓取都放回，抓每个球的过程是相互独立的
则有E(X)=E(X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10)
=E(X1)+E(X2)+E(X3)+……E(X10)=10*10=100
(推导过程见附件)
当球数为N时,同理
E(Xi)=N
则E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+……E(XN)=N*N=N^2
我跟你说,我这里面没用到什么公式,了不起也就是a+2aq+3aq^2+4aq^3+……naq^(n-1)+……=a/[(1-q)^2]这个公式你说的为什么E(X)=E(X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10)
=E(X1)+E(X2)+E(X3)+……E(X10)
书上都有,你真的需要找本书好好看看
。收起
