被3整除证明:a^2+b^2能被3整除的充分必要条件是a,b同时能被3整除.
充分性：
设a=3k，b=3m (k,m∈Z)
则 a^2+b^2=9(k^2+m^2)=3N (N∈Z)
所以 a,b能同时被3整除 ==> a^2+b^2能被3整除
必要性：
应证 a^2+b^2能被3整除 ==> a,b能同时被3整除
利用逆否命题 即证 a,b不能同时被3整除 ==> a^2+b^2不能被3整除
情况1：a,b中有一个能被3整除
不妨设a=3k,b=3m±1 (k,m∈Z)
则 a^2+b^2=9k^2+(9m^2±6m+1)=3N+1 (N∈Z)
所以 a^2+b^2不能被3整除
情况1：a,b都不能能被3整除
设a=3k±1,b=3m±1...全部
充分性：
设a=3k，b=3m (k,m∈Z)
则 a^2+b^2=9(k^2+m^2)=3N (N∈Z)
所以 a,b能同时被3整除 ==> a^2+b^2能被3整除
必要性：
应证 a^2+b^2能被3整除 ==> a,b能同时被3整除
利用逆否命题 即证 a,b不能同时被3整除 ==> a^2+b^2不能被3整除
情况1：a,b中有一个能被3整除
不妨设a=3k,b=3m±1 (k,m∈Z)
则 a^2+b^2=9k^2+(9m^2±6m+1)=3N+1 (N∈Z)
所以 a^2+b^2不能被3整除
情况1：a,b都不能能被3整除
设a=3k±1,b=3m±1 (k,m∈Z)
则 a^2+b^2=(9k^2±6k+1)+(9m^2±6m+1)=3N+2 (N∈Z)
所以 a^2+b^2不能被3整除
由上，得证 a^2+b^2能被3整除 ==> a,b能同时被3整除
综上：a,b能同时被3整除是a^2+b^2能被3整除的充分必要条件。
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