证明(1+1/n)的n次方小于(
可用贝努利不等式证明:
(1+1/n)^(-1)=n/(n+1)=1-1/(n+1)>0,
故原式等价于
[1+1/(n+1)]^(n+1)·[1-1/(n+1)]^(n+1)
>(1+1/n)^n·(1+1/n)^(-n)·[1-1/(n+1)]
→[1-1/(n+1)^2]^(n+1)>1-1/(n+1)。
而依贝努里不等式知,有
[1-1/(n+1)^2]^(n+1)>1-(n+1)·1/(n+1)^2
=1-1/(n+1)
=n/(n+1),
故(1+1/n)^n<[1+1/(n+1)]^(n+1)成立。
也可用一个初等方法证明:
依均值不等式得
[(1+1/n)·(1+1...全部
可用贝努利不等式证明:
(1+1/n)^(-1)=n/(n+1)=1-1/(n+1)>0,
故原式等价于
[1+1/(n+1)]^(n+1)·[1-1/(n+1)]^(n+1)
>(1+1/n)^n·(1+1/n)^(-n)·[1-1/(n+1)]
→[1-1/(n+1)^2]^(n+1)>1-1/(n+1)。
而依贝努里不等式知,有
[1-1/(n+1)^2]^(n+1)>1-(n+1)·1/(n+1)^2
=1-1/(n+1)
=n/(n+1),
故(1+1/n)^n<[1+1/(n+1)]^(n+1)成立。
也可用一个初等方法证明:
依均值不等式得
[(1+1/n)·(1+1/n)·……·(1+1/n)·1]^[1/(n+1)]<[(1+1/n)+(1+1/n)+……+(1+1/n)+1]/(n+1)
=(n+2)/(n+1)
=1+1/(n+1),
即(1+1/n)^[n/(n+1)]<1+1/(n+1)
∴(1+1/n)^n<[1+1/(n+1)]^(n+1)。
收起