正四面体的内切球和外接球的半径分
想了一个很巧妙的方法:
设正四面体的高为h,每个面的面积是S
那么,h=R+r
另外正四面体的体积
V=S*h/3
V=(S*r/3)*4,[4个小三棱锥体积和]
从而h=4r,
R=3r
r:R=1:3
【联想】前几天刚解过的题:
已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面得中心分别为E、F、G、H。 设四面体EFGH的表面积为T，则T/S等于？
画个简图,容易看出:
相似比=(1/2)*(2/3)=1/3
小正四面体的外接球就是大正四面体的内切球
可见r:R=1:3。
【类比】从平面到空间的猜想
平面问题1:
若连接正三角形ABC各边中点得正三角形DEF,
则正三角形DEF与正三...全部
想了一个很巧妙的方法:
设正四面体的高为h,每个面的面积是S
那么,h=R+r
另外正四面体的体积
V=S*h/3
V=(S*r/3)*4,[4个小三棱锥体积和]
从而h=4r,
R=3r
r:R=1:3
【联想】前几天刚解过的题:
已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面得中心分别为E、F、G、H。
设四面体EFGH的表面积为T，则T/S等于？
画个简图,容易看出:
相似比=(1/2)*(2/3)=1/3
小正四面体的外接球就是大正四面体的内切球
可见r:R=1:3。
【类比】从平面到空间的猜想
平面问题1:
若连接正三角形ABC各边中点得正三角形DEF,
则正三角形DEF与正三角形ABC的相似比为1:2;
空间问题1:
若连接正四面体ABCD各面中点得正四面体EFGH,
则正四面体EFGH与正四面体ABCD的相似比为1:3;
平面问题2:
正三角形内切圆半径r与其外接圆半径R的比
r:R=1:2
空间问题2:‖类比猜想‖
正四面体的内切球半径r与其外接球半径R的比
r:R=1:3
。
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