数学复数问题
已知Z1，Z2∈C │Z1│=│Z2│≠0,且│1-Z1/Z2│=√2,求证│Z1+Z2│=│Z1-Z2│
全部回答
题目是不错的，例如取Z1=1，Z2=i，显然满足条件，也满足结果，只是还没有想好如何证明能比较简洁，想好了以后再来补充回答。
现在我来完成证明。
先作几点说明，免得大家看不懂。
1、复数Z的共轭复数记作Z~； 2、对任复数Z1、Z2，有（Z1±Z2）~=Z1~±Z2~； 3、对任复数Z，有|Z|^2=ZZ~。 证明：因为|1-Z1/Z2|=|Z2-Z1|/|Z2|=|Z1-Z2|/|Z2|=√2（已知） 所以|Z1-Z2|=(√2)|Z2|，即|Z1-Z2|^2=2|Z2|^2……⑴ 另一方面|Z1-Z2|^2=(Z1-Z2)(Z1-Z2)~=(Z1-Z2)(Z1~-Z2~） =Z1Z1~-Z1Z2~-Z2Z1~+Z2Z2~=|Z1|^2+|Z2|^2-(Z1Z2~+Z2Z1~) =2|Z2|^2-(Z1Z2~+Z2Z1~)……⑵（这里用到|Z1|=|Z2|） 比较⑴、⑵得到：Z1Z2~+Z2Z1~=0 则|Z1+Z2|^2=(Z1+Z2)(Z1+Z2)~=(Z1+Z2)(Z1~+Z2~） =Z1Z1~+Z1Z2~+Z2Z1~+Z2Z2~=|Z1|^2+|Z2|^2+(Z1Z2~+Z2Z1~) =2|Z2|^2+(Z1Z2~+Z2Z1~)=2|Z2|^2=|Z1-Z2|^2 所以|Z1+Z2|=|Z1-Z2|。
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1、复数Z的共轭复数记作Z~； 2、对任复数Z1、Z2，有（Z1±Z2）~=Z1~±Z2~； 3、对任复数Z，有|Z|^2=ZZ~。 证明：因为|1-Z1/Z2|=|Z2-Z1|/|Z2|=|Z1-Z2|/|Z2|=√2（已知） 所以|Z1-Z2|=(√2)|Z2|，即|Z1-Z2|^2=2|Z2|^2……⑴ 另一方面|Z1-Z2|^2=(Z1-Z2)(Z1-Z2)~=(Z1-Z2)(Z1~-Z2~） =Z1Z1~-Z1Z2~-Z2Z1~+Z2Z2~=|Z1|^2+|Z2|^2-(Z1Z2~+Z2Z1~) =2|Z2|^2-(Z1Z2~+Z2Z1~)……⑵（这里用到|Z1|=|Z2|） 比较⑴、⑵得到：Z1Z2~+Z2Z1~=0 则|Z1+Z2|^2=(Z1+Z2)(Z1+Z2)~=(Z1+Z2)(Z1~+Z2~） =Z1Z1~+Z1Z2~+Z2Z1~+Z2Z2~=|Z1|^2+|Z2|^2+(Z1Z2~+Z2Z1~) =2|Z2|^2+(Z1Z2~+Z2Z1~)=2|Z2|^2=|Z1-Z2|^2 所以|Z1+Z2|=|Z1-Z2|。
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