对称区间积分

一个定积分证明设函数f(x)在[0

假设f(x)在（0，π）恒大于0，这f(x)sinx>=0则积分之大于0，矛盾 所以f(x)在[0，π］至少有一个0点，即f(x)=0有解 且f(x)cosx 在[0，π］上的积分为０ 可分成f(x)cosx 在[0，π/2］+f(x)cosx 在[π/2，π］的积分 对f(x)cosx 在[π/2，π］用换元法令t=π-x得 f(x)cosx 在[π/2，π］的积分=-f(π-t)cost 在[0，π/2］的积分 所以f(x)cosx 在[0，π］上的积分 =f(x)cosx 在[0，π/2］+f(x)cosx 在[π/2，π］的积分 =f(x)cosx 在[0，π/2］-f(π-t)c...全部

  假设f(x)在（0，π）恒大于0，这f(x)sinx>=0则积分之大于0，矛盾 所以f(x)在[0，π］至少有一个0点，即f(x)=0有解 且f(x)cosx 在[0，π］上的积分为０ 可分成f(x)cosx 在[0，π/2］+f(x)cosx 在[π/2，π］的积分 对f(x)cosx 在[π/2，π］用换元法令t=π-x得 f(x)cosx 在[π/2，π］的积分=-f(π-t)cost 在[0，π/2］的积分 所以f(x)cosx 在[0，π］上的积分 =f(x)cosx 在[0，π/2］+f(x)cosx 在[π/2，π］的积分 =f(x)cosx 在[0，π/2］-f(π-t)cost 在[0，π/2］的积分 =f(x)cosx 在[0，π/2］-f(π-x)cosx 在[0，π/2］的积分 =（f(x)-f(π-x)）cost 在[0，π/2］的积分 =0 若f(x)-f(π-x)无0点，则恒大于0或小于0，而在[0，π/2］cost >=0 则=（f(x)-f(π-x)）cosx 在[0，π/2］的积分大于0或小于0与等于0矛盾 所以f(x)-f(π-x)至少有一个0点 即方程f(x)-f(π-x)=0有解 与f(x)=0构成方程组 f(x)=f(π-x)=0 {注若f(x)=0的解在[0，π/2］，那里可以直接得到上面的形式，若f(x)=0的解在（π/2，π］，那么由f(x)=0可得f(π-x)=0，则x在[0，π/2］，总之都可以得到上面形式} 无妨设a为f(x)=f(π-x)=0的解 既有a和π-a为都是f（x）的零点，若a=π-a 即a=π/2，则在a点两边f(x)cosx 同号，那么与 f(x)cosx 在[0，派］上的定积分为０矛盾！ 所以a与π-a即为两个不同的点 得证 。
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