求函数f(x)=x/(x^2+1
【提供两个初等方法】
f(x)= x/(x^2+1) =1/(x + 1/x)
1。
大家知道，对钩函数g(x) =x + 1/x 的单调性：
g(x)在(0,1)上单调递减→f(x)在(0,1)上单调递增;
g(x)在(1,+∞)上单调递增→f(x)在(1,+∞)上单调递减;
g(x)在(-1,0)上单调递减→f(x)在(-1,0)上单调递增;
g(x)在(-∞,-1)上单调递增→f(x)在(-∞,-1)上单调递减;
∵f(x)在(-∞, +∞)上没有间断点
∴f(x)= x/(x^2+1)的单调性如下：
f(x)在(-∞,-1)上单调递减
f(x)在(-1 , 1)上单调递增
f(x)...全部
【提供两个初等方法】
f(x)= x/(x^2+1) =1/(x + 1/x)
1。
大家知道，对钩函数g(x) =x + 1/x 的单调性：
g(x)在(0,1)上单调递减→f(x)在(0,1)上单调递增;
g(x)在(1,+∞)上单调递增→f(x)在(1,+∞)上单调递减;
g(x)在(-1,0)上单调递减→f(x)在(-1,0)上单调递增;
g(x)在(-∞,-1)上单调递增→f(x)在(-∞,-1)上单调递减;
∵f(x)在(-∞, +∞)上没有间断点
∴f(x)= x/(x^2+1)的单调性如下：
f(x)在(-∞,-1)上单调递减
f(x)在(-1 , 1)上单调递增
f(x)在(1 ,+∞)上单调递减
2。
设x1、x2∈(-∞, +∞) 且 x1＜x2
f(x2) - f(x1)
=x2/(x2^2+1) -x1/(x1^2+1)
=(1 -x1*x2)(x2 -x1)/[(x2^2+1)(x1^2+1)]
当1 -x1*x2 ＞ 0,
即 x1、x2 ∈(-1,1)时
f(x2) - f(x1) ＞ 0
也就是
f(x)在(-1,1)上单调递增;
当1 -x1*x2 ＜ 0,
即 x1、x2 ∈(1,+∞) 或 x1、x2 ∈(-∞,-1) 时
f(x2) - f(x1) ＜ 0
也就是
f(x)在(-∞,-1)上单调递减;
f(x)在(1, +∞)上单调递减。
收起
