解:f(x)=x+a/x (a>0)
函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
显然函数为奇函数, 只需讨论x>0的情况即可
任取x1, x2∈(0,+∞), 且x1<x2, x1-x2<0, 则
`f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)
=(x1-x2)-a(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1-a/x1x2)
=(x1-x2)(x1x2-a)/x1x2
∵x1-x2<0, x1x2>0, a>0
∴当x1, x2∈(0,√a), 则x1x2<a, 此时f(x1)>f(x2)
即f(x)在(0,√a]上是减函数
当x1, x2∈(√a,+∞), 则x1x2>a, 此时f(x1)<f(x2)
即f(x)在[√a,+∞)上是增函数
根据奇函数性质
f(x)的单调增区间为(-∞,-√a]和[√a,+∞)
f(x)的单调减区间为[-√a,0)和(0,√a]。
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