设函数f(x)=(x+1/x)^2(1)
设函数f(x)=(x+1/x)^2(1)判断f(x)的单调性并证明你的结论
f(x)=(x+1/x)^2=x^2+(1/x^2)+2
定义域为x≠0
且，f(-x)=(-x-1/x)^2=(x+1/x)^2=f(x)
所以，f(x)为偶函数
所以，先讨论当x＞0时的情况
f(x)=x^2+(1/x^2)+2≥2√[x^2*(1/x^2)]+2=4
当且仅当x^2=1/x^2，即x=1时取等号
即，函数f(x)在x＞0时，有最小值f(1)=4
而当x→+∞时，x^2→+∞，那么f(x)→+∞
当x→+0时，1/x^2→+∞，那么f(x)→+∞
所以，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+...全部
设函数f(x)=(x+1/x)^2(1)判断f(x)的单调性并证明你的结论
f(x)=(x+1/x)^2=x^2+(1/x^2)+2
定义域为x≠0
且，f(-x)=(-x-1/x)^2=(x+1/x)^2=f(x)
所以，f(x)为偶函数
所以，先讨论当x＞0时的情况
f(x)=x^2+(1/x^2)+2≥2√[x^2*(1/x^2)]+2=4
当且仅当x^2=1/x^2，即x=1时取等号
即，函数f(x)在x＞0时，有最小值f(1)=4
而当x→+∞时，x^2→+∞，那么f(x)→+∞
当x→+0时，1/x^2→+∞，那么f(x)→+∞
所以，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增
证明：
设1＜x1＜x2，则：
f(x2)-f(x1)=(x2+1/x2)^2-(x1+1/x1)^2
=[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]*[(x2+1/x2)-(x1+1/x1)]
=[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]*[(x2-x1)+(1/x2-1/x1)]
=[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]*[(x2-x1)-(x2-x1)/(x1x2)]
=[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]*[(x2-x1)*(x1x2-1)/(x1x2)]
因为x2＞x1＞1
所以，[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]＞0
(x2-x1)＞0
x1x2-1＞0
所以：f(x2)-f(x1)＞0
即，f(x2)＞f(x1)
所以，当x＞1时，f(x)为增函数
【余下证明0＜x＜1上略】
又因为f(x)为偶函数，它就关于y轴对称
所以就有：
在(-∞,-1)上，f(x)单调递减；在(-1,0)上，f(x)单调递增；
在(0,1)上，f(x)单调递减，在(1,+∞)上，f(x)单调递增。
收起
