均匀带电球壳小孔处的场强

一道物理题!一均匀带电的1/4圆环,电荷线密度为A,则该1/4圆环对其圆心的场强是多少?

我这画图不方便，我尽量用文字解释清楚： 假设圆环半径为R，那么该带电体的长度是πR/2。电荷的线密度为A，那总电量就是πRA/2了。假设将该圆环置于圆心的正左侧，那么它占据的就是左下45°到左上45°这个弧。 显然上下方向的场强会相互抵消掉，你只需要将每一个点造成的场强的水平分量加在一起就好了。由于圆弧上下对称，你只需要考虑一半，也就是1/8弧，再乘以2就行。现在考虑上半边。取这样一段微小的带电体：这一小段中心与圆心的连线与水平方向夹角为θ(θ范围在0到45°)，而这一小段所对的圆心角为dθ。 (d表示微小量，dθ在此与θ无关，是另一个变量，希望你能理解)那么，这一小段的长度就是Rd...全部

  我这画图不方便，我尽量用文字解释清楚： 假设圆环半径为R，那么该带电体的长度是πR/2。电荷的线密度为A，那总电量就是πRA/2了。假设将该圆环置于圆心的正左侧，那么它占据的就是左下45°到左上45°这个弧。
  显然上下方向的场强会相互抵消掉，你只需要将每一个点造成的场强的水平分量加在一起就好了。由于圆弧上下对称，你只需要考虑一半，也就是1/8弧，再乘以2就行。现在考虑上半边。取这样一段微小的带电体：这一小段中心与圆心的连线与水平方向夹角为θ(θ范围在0到45°)，而这一小段所对的圆心角为dθ。
  (d表示微小量，dθ在此与θ无关，是另一个变量，希望你能理解)那么，这一小段的长度就是Rdθ，带电量为dq=RAdθ，由于极微小，可以视为点电荷，造成的场强就是kdq/R^2=kAdθ/R(k指静电常数，9×10^9 N。
  m^2/C^2)，方向为向右，与水平方向夹角为θ。考虑到我们需要叠加的是场强的水平分量，那么这一个微元造成的水平电场为dE=(kA/R)cosθdθ。 抱歉，接下来可能需要一点点微积分的知识了：将θ从0连续地取到45°，将这其间的所有的dE都叠加起来，结果为(kA/R)(sin45°-sin0)=(√2)kA/2R，这是这1/8圆弧提供的水平电场。
  那么1/4圆弧的场强就是(√2)kA/R。 抱歉涉及到了一部分微积分知识，我不知道怎么用初等数学算完剩下这一部分。如有不明白欢迎追问，如有不对欢迎指出。供参考。收起