求协方差的题ξi服从标准正态分布
η=Σ(。。。)2 。 这个2的意思是什么？ 我权且当作平方处理
1)
cov(ζ,ξi)=E[(ζ-Eζ)(ξi-Eξi)]=E[ζξi-ζEξi-ξiEζ+EζEξi]=E(ζξi)-EζEξi=E(ζξi)=1/3*E(ξ1*ξi+ξ2*ξi+ξ3*ξi)
当ξi=ξ1:
cov(ζ,ξ1)=1/3*[Eξ1^2 +Eξ1Eξ2+Eξ3Eξ1]=1/3*Eξ1^2=1/3*[Dξ1+(Eξ1)^2]=1/3*Dξ1=1/3
同理，当ξi=2,3时：
cov(ζ,ξ2)=cov(ζ,ξ2)=1/3
综上，cov(ζ,ξi)=1/3
η=Σ(ξi-ζ)^2
2) Eη=E[Σ(ξi-ζ...全部
η=Σ(。。。)2 。 这个2的意思是什么？ 我权且当作平方处理
1)
cov(ζ,ξi)=E[(ζ-Eζ)(ξi-Eξi)]=E[ζξi-ζEξi-ξiEζ+EζEξi]=E(ζξi)-EζEξi=E(ζξi)=1/3*E(ξ1*ξi+ξ2*ξi+ξ3*ξi)
当ξi=ξ1:
cov(ζ,ξ1)=1/3*[Eξ1^2 +Eξ1Eξ2+Eξ3Eξ1]=1/3*Eξ1^2=1/3*[Dξ1+(Eξ1)^2]=1/3*Dξ1=1/3
同理，当ξi=2,3时：
cov(ζ,ξ2)=cov(ζ,ξ2)=1/3
综上，cov(ζ,ξi)=1/3
η=Σ(ξi-ζ)^2
2) Eη=E[Σ(ξi-ζ)^2] 因此我们先考虑E(ξ1-ζ)^2=Eξ1^2+Eζ^2-2E(ξ1*ζ)=Dξ1+(Eξ1)^2+Dζ+(Eζ)^2-2[Eξ1*Eζ+cov(ζ,ξ1)]=1+0+1/3*1+0-2(0+1/3)=2/3 因此Eη=E[Σ(ξi-ζ)^2] =3*E(ξ1-ζ)^2=2
3)
cov(ζ，η)=0 因为ζ，η相互独立。
协方差为0。
下面给出证明:
cov(ζ，η)=E[(ζ-Eζ)(η-Eη)]=E(ζ(η-2))=E(ζη-2ζ)=E(ζη)-2Eζ=E(ζη)=1/3E{(x1+x2+x3)
[(x1^2+ζ^2-2x1*ζ)+(x2^2+ζ^2-2x2*ζ)+(x3^2+ζ^2-2x3*ζ)]} （*）
分析这个式子，其中一个因子(x1+x2+x3)为一次变量之和，另一个因子2次变量之和 分别有Xi^2 ,ζ^2,Xi*ζ
三种。
他们的乘积是以下5类式子之和：xi^3, xj*xi^2,xi*ζ^2,xi^2*ζ,xj*xi*ζ 由期望的性质，他们的
和的期望，为他们各自期望之和。也即：cov(ζ，η)=k1E(xi^3)+k2E(xj*xi^2)+k3E(xi*ζ^2)+k4E(xi^2*ζ)
+k5E(xj*xi*ζ) 其中每一项均为0。
Exi^3=∫x^3 φ（x）dx 。由于积分区域对称，φ（x）为偶函数（正态分布的概率密度函数）。
x^3奇函数。 奇函数在对称区间积分为0。 第2，3类 类似。第4，5类xi^2*ζ 把ζ展开，与x相乘，再积分。
因此，得到结果：COV(ζ，η)=0。 即标准正态总体的2阶中心矩与均值独立。
PS:很高兴能完整的给出COV(ζ，η)=0的证明。本来第3问，只想写个因相互独立，所以COV(ζ，η)=0。
因为，我们在概统中，这是个定理的简单推论。自己也从没考虑过这个的证明。 。收起
