高一下的数学一道
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c边最长,并且sin^2A+sin^2B=1.(1)求证:△ABC为直角三角形;(2)当c=1,求△ABC面积的最大值.
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高一下的数学一道
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c边最长,并且sin^2A+sin^2B=1。
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)当c=1,求△ABC面积的最大值
解：(1)
∵ sin^2A+sin^2B=1。
∴ sin^2A=cos^2B ∴ sin^2A-cos^2B=0 ∴ (sinA-cosB)(sinA+cosB)=0 ∵ c边最长 ∴ ∠A,∠B 都为锐角 ∴ sinA+cosB>0，sinA-cosB=0 即： sinA=cosB ∴ ∠C=90° 所以，△ABC为直角三角形。
(2) ∵ △ABC为直角三角形 ∴ a^2+b^2=c^2=1 ∵ △ABC面积S=ab/2 =2ab/4《（a^2+b^2）/4=1/4 ∴ △ABC面积的最大值为1/4 。
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∴ sin^2A=cos^2B ∴ sin^2A-cos^2B=0 ∴ (sinA-cosB)(sinA+cosB)=0 ∵ c边最长 ∴ ∠A,∠B 都为锐角 ∴ sinA+cosB>0，sinA-cosB=0 即： sinA=cosB ∴ ∠C=90° 所以，△ABC为直角三角形。
(2) ∵ △ABC为直角三角形 ∴ a^2+b^2=c^2=1 ∵ △ABC面积S=ab/2 =2ab/4《（a^2+b^2）/4=1/4 ∴ △ABC面积的最大值为1/4 。
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