求广义定积分的问题如图，求广义定
先看不定积分吧。。。
∫e^(-x)sinxdx
=-∫sinxd[e^(-x)]
=-[e^(-x)*sinx-∫e^(-x)d(sinx)]【分部积分法】
=-e^(-x)*sinx+∫e^(-x)cosxdx
=-e^(-x)*sinx-∫cosxd[e^(-x)]
=-e^(-x)*sinx-[e^(-x)*cosx-∫e^(-x)d(cosx)]【再一分部积分】
=-e^(-x)*sinx-e^(-x)*cosx-∫e^(-x)sinxdx
===> 2∫e^(-x)sinxdx=-e^(-x)*(sinx+cosx)+C
===> ∫e^(-x)sinxdx=(-1/2)*...全部
先看不定积分吧。。。
∫e^(-x)sinxdx
=-∫sinxd[e^(-x)]
=-[e^(-x)*sinx-∫e^(-x)d(sinx)]【分部积分法】
=-e^(-x)*sinx+∫e^(-x)cosxdx
=-e^(-x)*sinx-∫cosxd[e^(-x)]
=-e^(-x)*sinx-[e^(-x)*cosx-∫e^(-x)d(cosx)]【再一分部积分】
=-e^(-x)*sinx-e^(-x)*cosx-∫e^(-x)sinxdx
===> 2∫e^(-x)sinxdx=-e^(-x)*(sinx+cosx)+C
===> ∫e^(-x)sinxdx=(-1/2)*e^(-x)*(sinx+cosx)+C
所以，原广义积分=lim∫e^(-x)sinxdx
=lim[(-1/2)*e^(-x)*(sinx+cosx)]|
=(-1/2)*lim[e^(-a)*(sina+cosa)-e^(-0)*(sin0+cos0)]
=(-1/2)*lim[e^(-a)*(sina+cosa)-1]
=(-1/2)*lim[(sina+cosa)/e^a]+(1/2)
上式中，因为sina+cosa有界，而lime^a→+∞
所以，lim[(siana+cosa)/e^a]=0
则，原广义积分=1/2。收起
