高一物理题.假设宇宙中存在一些离
假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略。已知稳定的四星系统存在两种基本构成形式，一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行；另一种形式是四颗星位于正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道运行。 设每颗星体的质量均为m，它们做圆周运动的半径为R，试分别求出这两种情况下四星系统的运动周期T1和T2。 （已知万有引力常量为G）
第一种情况，以等边三角形形式（如左图）
位于等边三角形中心的卫星受到的合力为零，它处于自旋转状态
取任意一个位于圆形轨道上的卫星P为研究对象
它受...全部
假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略。已知稳定的四星系统存在两种基本构成形式，一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行；另一种形式是四颗星位于正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道运行。
设每颗星体的质量均为m，它们做圆周运动的半径为R，试分别求出这两种情况下四星系统的运动周期T1和T2。
（已知万有引力常量为G）
第一种情况，以等边三角形形式（如左图）
位于等边三角形中心的卫星受到的合力为零，它处于自旋转状态
取任意一个位于圆形轨道上的卫星P为研究对象
它受到其他三颗卫星的引力，它们的合力为其向心力
Fpp3=Gmm/R^2=Gm^2/R^2
Fpp1=Fpp2=Gmm/(√3R)^2=Gm^2/(3R^2)
而，Fpp1与Fpp2的夹角为60°，合力方向是沿PP3方向
其合力大小为∑F1=√3*Fpp1=√3Gm^2/(3R^2)=(√3/3)*Gm^2/R^2
所以，P1、P2、P3三者对P的合力是∑F=Gm^2/R^2+(√3/3)Gm^2/R^2
=[(√3+3)/3]*Gm^2/R^2
所以，由圆周运动规律得到：∑F=F向
即：[(√3+3)/3]*Gm^2/R^2=m(2π/T1)^2*R
则，T1=√[12π^2*R^3/(3+√3)Gm]
第二种情况，以正方形形式（如右图）
Fpp1=Fpp3=Gmm/(√2R)^2=(1/2)*Gm^2/R^2
Fpp2=Gmm/(2R)^2=(1/4)*Gm^2/R^2
Fpp1和Fpp3的合力∑F1=√2Fpp1=(√2/2)*Gm^2/R^2
所以，P受到P1、P2、P3三者的合力为∑F=Fpp2+∑F1
=(1/4)*Gm^2/R^2+(√2/2)*Gm^2/R^2
=[(2√2+1)/4]*Gm^2/R^2
同理有：∑F=F向=m(2π/T2)^2*R
即，[(2√2+1)/4]*Gm^2/R^2=m(2π/T2)^2*R
所以，T2=√[16π^2*R^3/(2√2+1)Gm]。收起
