关于三角形圆的问题
解：九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半，半径为R/2。
外接圆：以三角形的三条中垂线的交点为圆心，这个点到三角形顶点的距离为半径的圆，半径为R。
内切圆：以三角形三个内角的角平分线的交点为圆心,圆心到任意一边的距离相等，半径为r。
设三角形ABC的九点圆心为Q，外接圆心为O，内切圆心为I，三角形ABC半周长为s，则易求得:
OQ=[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,OI=√[R(R-2r)],IQ=(R-2r)/2。
根据圆与...全部
解：九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半，半径为R/2。
外接圆：以三角形的三条中垂线的交点为圆心，这个点到三角形顶点的距离为半径的圆，半径为R。
内切圆：以三角形三个内角的角平分线的交点为圆心,圆心到任意一边的距离相等，半径为r。
设三角形ABC的九点圆心为Q，外接圆心为O，内切圆心为I，三角形ABC半周长为s，则易求得:
OQ=[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,OI=√[R(R-2r)],IQ=(R-2r)/2。
根据圆与圆有5种关系，相离，外切，相交，内切，内含。可判断:
(1),九点圆与内切圆的两半径差等于R/2-r=IQ=(R-2r)/2，故内切圆I内切于九点圆Q，即两圆内切。
(2),易证 R-r>OI=√[R(R-2r)],r^2>0，所以外接圆内含内切圆，即两圆内含。
(3),外接圆与九点圆，当三角形为锐角时外接圆内含九点圆，R/2>[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,s>2R+r; 当三角形为直角时九点圆内切于外接圆，R/2=[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,s=2R+r;当三角形为纯角时九点圆与外接圆相交，3R/2>[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,s^2>4Rr+r^2。
。收起
