常微分方程王高雄第三版答案要准确的答案
习题2。2
求下列方程的解
1． =
解： y=e ( e )
=e [- e ( )+c]
=c e - ( )是原方程的解。
2． +3x=e
解：原方程可化为： =-3x+e
所以：x=e ( e e )
=e ( e +c)
=c e + e 是原方程的解。
3． =-s +
解：s=e ( e )
=e ( )
= e ( )
= 是原方程的解。
4． ， n为常数。
解：原方程可化为：
是原方程的解。
5． + =
解：原方程可化为： =-
( )
= 是原方程的解。
13
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以 ，
...全部
习题2。2
求下列方程的解
1． =
解： y=e ( e )
=e [- e ( )+c]
=c e - ( )是原方程的解。
2． +3x=e
解：原方程可化为： =-3x+e
所以：x=e ( e e )
=e ( e +c)
=c e + e 是原方程的解。
3． =-s +
解：s=e ( e )
=e ( )
= e ( )
= 是原方程的解。
4． ， n为常数。
解：原方程可化为：
是原方程的解。
5． + =
解：原方程可化为： =-
( )
= 是原方程的解。
13
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以 ，
令
P(x)= Q(x)=-1
由一阶线性方程的求解公式
=
14
两边同乘以
令
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以 令
P（x）= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
15
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以
令
= P(y)=-2y Q(y)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
16 y= +
P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式
=
=
c=1
y=
习题2。
3
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。
1。
解： ， =1 。
则
所以此方程是恰当方程。
凑微分，
得 ：
2．
解： ， 。
则 。
所以此方程为恰当方程。
凑微分，
得
3．
解：
则 。
因此此方程是恰当方程。
（1）
（2）
对（1）做 的积分，则
= （3）
对（3）做 的积分，则
=
=
则
故此方程的通解为
4、
解： ， 。
。
则此方程为恰当方程。
凑微分，
得 ：
5。( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0
解： M= sin - cos +1 N= cos - sin +
=- sin - cos - cos + sin
=- sin - cos - cos + sin
所以， = ，故原方程为恰当方程
因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=0
d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0
所以，d(sin -cos +x - )=0
故所求的解为sin -cos +x - =C
求下列方程的解：
6．2x(y -1)dx+ dy=0
解： = 2x , =2x
所以， = ，故原方程为恰当方程
又2xy dx-2xdx+ dy=0
所以，d(y -x )=0
故所求的解为y -x =C
7。
(e +3y )dx+2xydy=0
解：e dx+3y dx+2xydy=0
e x dx+3x y dx+2x ydy=0
所以，d e ( x -2x+2)+d( x y )=0
即d [e ( x -2x+2)+ x y ]=0
故方程的解为e ( x -2x+2)+ x y =C
8。
2xydx+( x +1)dy=0
解：2xydx+ x dy+dy=0
d( x y)+dy=0
即d(x y+y)=0
故方程的解为x y+y=C
9、
解：两边同除以 得
即，
故方程的通解为
10、
解：方程可化为：
即，
故方程的通解为： 即：
同时，y=0也是方程的解。
11、
解：方程可化为：
即：
故方程的通解为：
12、
解：方程可化为：
故方程的通解为 ： 即：
13、
解：这里 ，
方程有积分因子
两边乘以 得：方程 是恰当方程
故方程的通解为：
即：
14、
解：这里
因为
故方程的通解为：
即：
15、
解：这里
方程有积分因子： 两边乘以 得：
方程 为恰当方程
故通解为 ：
即：
16、
解：两边同乘以 得：
故方程的通解为：
习题2。
5
2．
解：两边同除以 ，得：
即
4．
解：两边同除以 ，得
令
则
即
得到 ，
即
另外 也是方程的解。
6．
解：
得到
即
另外 也是方程的解。
8。
解：令
则：
即
得到
故
即
另外 也是方程的解。
10．
解：令
即
而 故两边积分得到
因此原方程的解为 ， 。
12。
解：
令
则
即
故方程的解为
14．
解： 令
则
那么
求得：
故方程的解为
或可写 为
16．
解：令 则
即方程的解为
18．
解： 将方程变形后得
同除以 得：
令 则
即原方程的解为
19。
X(
解：方程可化为2y(
令
27。
解： 令 ， ，则
， ，
，
两边积分得
即为方程的通解。
另外， ，即 也是方程的解。
28。
解： 两边同除以 ，方程可化为：
令 ，则
即 ，
两边积分得
即
为方程的解。
29。
解： 令 ，则 ，
，
那么
即
两边积分得
即为方程的解。
30。
解： 方程可化为
两边积分得
即
为方程的解。
31。
解： 方程可化为
两边同除以 ，得
即
令 ， ，则
即
两边积分得 。
将 代入得，
即
故
32。
解： 方程可化为 两边同加上 ，得 （*）
再由 ，可知
（**）
将（*）/（**）得
即
整理得
两边积分得 即
另外， 也是方程的解。
33。 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至 米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
解： ，又 ，由此
即
其中 ，解之得
又 时， ； 时， 。
故得 ，
从而方程可化为
当 时，有 米/秒
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速
习题4。
1
1。 设 和 是区间 上的连续函数，证明：如果在区间 上有 常数或 常数，则 和 在区间 上线形无关。
证明：假设在 ， 在区间 上线形相关
则存在不全为零的常数 ， ，使得
那么不妨设 不为零，则有
显然 为常数，与题矛盾，即假设不成立 ， 在区间 上线形无关
2。
证明非齐线形方程的叠加原理：设 ， 分别是非齐线形方程
（1）
（2）
的解，则 + 是方程 + 的解。
证明：由题可知 ， 分别是方程（1），（2）的解
则： （3）
（4）
那么由（3）+（4）得：
+
即 + 是方程是 + 的解。
3。 试验证 0的基本解组为 ，并求方程 的通解。
证明：由题将 代入方程 0得： - =0,即 是该方程的解，
同理求得 也是该方程的解
又显然 线形无关，故 是 0的基本解组。
由题可设所求通解为： ，则有：
解之得：
故所求通解为：
4。 试验证 0有基本解组t， ，并求方程
t-1的通解。
解：由题将t代入方程 0得：
，即t为该方程的解
同理 也是该方程的解，又显然t， 线形无关，故t， 是方程 0的基本解组
由题可设所求通解为 ，则有：
解之得：
故所求通解为
5。
以知方程 0的基本解组为 ，求此方程适合初始条件 的基本解组（称为标准基本解组，即有 ）并求出方程的适合初始条件 的解。
解： 时间方程 0的基本解组，故存在常数 使得：
于是：
令t=0,则有方程适合初始条件 ，于是有：
解得： 故
又该方程适合初始条件 ，于是：
解得： 故
显然 ， 线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：
，
而此方程同时满足初始条件 ，于是：
解得：
故 满足要求的解。
习题4。2
1。 解下列方程
（1）
解：特征方程
故通解为x=
(2) 解：特征方程
有三重根 。故通解为x=
（3）
解：特征方程 ,有三重根 ， 2， -2
故通解为
（4）
解：特征方程 有复数根 -1+3i, -1-3i
故通解为
(5)
解：特征方程 有复数根
故通解为
(6)
解：特征方程 有根 a, -a
当 时，齐线性方程的通解为s=
代入原方程解得
故通解为s= -
当a=0时, 代入原方程解得
故通解为s= -
(7)
解：特征方程 有根 2,两重根 1
齐线性方程的通解为x=
又因为 0不是特征根，故可以取特解行如 代入原方程解得A=-4，B=-1
故通解为x= -4-t
(8)
解：特征方程
故齐线性方程的通解为x=
取特解行如 代入原方程解得A=1，B=0,C=1
故通解为x= +
(9)
解：特征方程 有复数根
故齐线性方程的通解为
取特解行如 代入原方程解得A=
故通解为
(10)
解：特征方程 有根 -2, 1
故齐线性方程的通解为x=
因为+-2i不是特征根
取特解行如 代入原方程解得A=
故通解为x=
（11）
解：特征方程 有复数根
故齐线性方程的通解为 1是特征方程的根，故 代入原方程解得A=
故通解为 +
（12）
解：特征方程 有2重根 -a
当a=-1时，齐线性方程的通解为s= ,
1是特征方程的2重根，故 代入原方程解得A=
通解为s= ,
当a -1时，齐线性方程的通解为s= ,
1不是特征方程的根，故 代入原方程解得A=
故通解为s= +
（13）
解：特征方程 有根 -1, -5
故齐线性方程的通解为x=
2不是特征方程的根，故 代入原方程解得A=
故通解为x= +
（14）
解：特征方程 有根 -1+ i, -1- i
故齐线性方程的通解为
不是特征方程的根, 取特解行如 代入原方程解得A=
故通解为 +
(15)
解：特征方程 有根 i, - i
故齐线性方程的通解为
, i,是方程的解 代入原方程解得
A= B=0 故
代入原方程解得
A= B=0 故
故通解为
习题5。
1
1。给定方程组
x = x x= （*）
a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解。
b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中 是任意常数。
解：a) u(0)= =
u (t)= = u(t)
又 v(0)= =
v (t)= = = v(t)
因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解。
b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =
w (t)= u (t)+ v (t)
= +
=
=
= w(t)
因此 w(t)是给定方程初值问题的解。
2。 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：
a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2
b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0
c)
x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1
解：a）令 x ＝x, x = x , 得
即
又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：
x ＝ x(1)＝
其中 x＝ 。
b) 令 ＝x ＝ ＝ ＝ 则得：
且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,
(0)= (0)=0
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：
= x(0)= , 其中 x= 。
c) 令w ＝x， w ＝ ，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：
且
即 w
w(0)= 其中 w＝
习题5。2
1。试验证 =
是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
解：令 的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。同样如果以 (t)表示 第二列，我们有 (t)= = (t)这样 (t)也是一个解。因此 是解矩阵。
又因为det =-t 故 是基解矩阵。
3。设A(t)为区间a 上的连续n n实矩阵， 为方程x =A(t)x的基解矩阵，而x= (t)为其一解，试证：
a) 对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数；
b) (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使 (t) (t)=C。
解a)[ (t) (t)] = (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t)
又因为 =-A (t) (t)，所以 =- (t) A(t)
[ (t) (t)] =- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,
所以对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数
b) “ ”假设为方程y =-A (t)y的基解矩阵，则
[ (t) (t)] = [ (t)] + (t) (t)=[- A (t) (t)] + (t) A (t) ) + (t)[ A(t) (t)]=- (t) A (t) + (t) A (t) =0,故 (t) (t)=C
“ ”若存在非奇异常数矩阵C，detc 0,使 (t) (t)=C，
则[ (t) (t)] = (t)+ (t)=0，故 (t) (t)=- (t) (t)A(t) (t)=- (t) A(t) 所以 (t)=- (t) A(t), (t)=- (t) A (t)即 (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵
8、试求 ，其中
满足初始条件
的解 。
解：由第7题可知 的基解矩阵
则
若方程满足初始条件
则有
若
则有 习题5。3
1、 试证：如果 是 =Ax满足初始条件 ＝ 的解，那么
＝[expA(t-t )]
证明：由定理8可知 ＝Ф(t)Ф-1(t0) ＋Ф(t)
又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,
又因为矩阵 （At）•（- At0）=（- At0）•（At）
所以 ＝[expA(t-t )]
5、试求方程组 =Ax的基解矩阵，并求满足初始条件
C) 由3（c）可知，矩阵A的特征值为 ＝3， ＝－1（二重）
对应的特征向量为u1＝ ，u2＝
∴ ＝ ＋
解得
＝
6、 求方程组 =Ax＋f（t）的解 ：
解：a）令 =Ax的基解矩阵为Ф(t)
解得Ф(t)＝ ， 则Ф－1(t)＝
Ф－1(0)＝
求得 ＝
7、 假设m不是矩阵A的特征值。
试证非齐线性方程组
有一解形如
其中c，p是常数向量。
证：要证 是否为解，就是能否确定常数向量p
则p（mE－A）＝c
由于m不是A的特征值
故
mE－A存在逆矩阵
那么p＝c（mE－A）－1 这样方程就有形如 的解
习题6。
3
1。
试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态
(1)
解: 由 得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)
对于奇点(0,0), A= 由 =0得 =1>0, =1/2>0
所以不稳定
对于奇点(0,2),令X=x,Y=y-2, 则A= 得 =-1, =-1/2
所以渐进稳定
同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定
对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定 。收起
