常微分方程王高雄第三版答案

常微分方程王高雄第三版答案

习题2。2 求下列方程的解 1． = 解： y=e ( e ) =e [- e ( )+c] =c e - ( )是原方程的解。 2． +3x=e 解：原方程可化为： =-3x+e 所以：x=e ( e e ) =e ( e +c) =c e + e 是原方程的解。 3． =-s + 解：s=e ( e ) =e ( ) = e ( ) = 是原方程的解。 4． ， n为常数。 解：原方程可化为： 是原方程的解。 5． + = 解：原方程可化为： =- ( ) = 是原方程的解。 13 这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以 ， ...全部

  习题2。2 求下列方程的解 1． = 解： y=e ( e ) =e [- e ( )+c] =c e - ( )是原方程的解。 2． +3x=e 解：原方程可化为： =-3x+e 所以：x=e ( e e ) =e ( e +c) =c e + e 是原方程的解。
   3． =-s + 解：s=e ( e ) =e ( ) = e ( ) = 是原方程的解。 4． ， n为常数。 解：原方程可化为： 是原方程的解。
   5． + = 解：原方程可化为： =- ( ) = 是原方程的解。 13 这是n=-1时的伯努利方程。
   两边同除以 ， 令 P(x)= Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式 = 14 两边同乘以 令 这是n=2时的伯努利方程。
   两边同除以 令 P（x）= Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = 15 这是n=3时的伯努利方程。
   两边同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 = = 16 y= + P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = c=1 y= 习题2。
  3 1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。 1。 解： ， =1 。 则 所以此方程是恰当方程。 凑微分， 得 ： 2． 解： ， 。
   则 。 所以此方程为恰当方程。 凑微分， 得 3． 解： 则 。 因此此方程是恰当方程。 （1） （2） 对（1）做 的积分，则 = （3） 对（3）做 的积分，则 = = 则 故此方程的通解为 4、 解： ， 。
   。 则此方程为恰当方程。 凑微分， 得 ： 5。( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0 解： M= sin - cos +1 N= cos - sin + =- sin - cos - cos + sin =- sin - cos - cos + sin 所以， = ，故原方程为恰当方程 因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=0 d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0 所以，d(sin -cos +x - )=0 故所求的解为sin -cos +x - =C 求下列方程的解： 6．2x(y -1)dx+ dy=0 解： = 2x , =2x 所以， = ，故原方程为恰当方程 又2xy dx-2xdx+ dy=0 所以，d(y -x )=0 故所求的解为y -x =C 7。
  (e +3y )dx+2xydy=0 解：e dx+3y dx+2xydy=0 e x dx+3x y dx+2x ydy=0 所以，d e ( x -2x+2)+d( x y )=0 即d [e ( x -2x+2)+ x y ]=0 故方程的解为e ( x -2x+2)+ x y =C 8。
   2xydx+( x +1)dy=0 解：2xydx+ x dy+dy=0 d( x y)+dy=0 即d(x y+y)=0 故方程的解为x y+y=C 9、 解：两边同除以 得 即， 故方程的通解为 10、 解：方程可化为： 即， 故方程的通解为： 即： 同时，y=0也是方程的解。
   11、 解：方程可化为： 即： 故方程的通解为： 12、 解：方程可化为： 故方程的通解为 ： 即： 13、 解：这里 ， 方程有积分因子 两边乘以 得：方程 是恰当方程 故方程的通解为： 即： 14、 解：这里 因为 故方程的通解为： 即： 15、 解：这里 方程有积分因子： 两边乘以 得： 方程 为恰当方程 故通解为 ： 即： 16、 解：两边同乘以 得： 故方程的通解为： 习题2。
  5 2． 解：两边同除以 ，得： 即 4． 解：两边同除以 ，得 令 则 即 得到 ， 即 另外 也是方程的解。
   6． 解： 得到 即 另外 也是方程的解。 8。 解：令 则： 即 得到 故 即 另外 也是方程的解。
   10． 解：令 即 而 故两边积分得到 因此原方程的解为 ， 。
   12。 解： 令 则 即 故方程的解为 14． 解： 令 则 那么 求得： 故方程的解为 或可写 为 16． 解：令 则 即方程的解为 18． 解： 将方程变形后得 同除以 得： 令 则 即原方程的解为 19。
  X( 解：方程可化为2y( 令 27。 解： 令 ， ，则 ， ， ， 两边积分得 即为方程的通解。
   另外， ，即 也是方程的解。 28。 解： 两边同除以 ，方程可化为： 令 ，则 即 ， 两边积分得 即 为方程的解。
   29。 解： 令 ，则 ， ， 那么 即 两边积分得 即为方程的解。
   30。 解： 方程可化为 两边积分得 即 为方程的解。 31。 解： 方程可化为 两边同除以 ，得 即 令 ， ，则 即 两边积分得 。
  将 代入得， 即 故 32。 解： 方程可化为 两边同加上 ，得 （*） 再由 ，可知 （**） 将（*）/（**）得 即 整理得 两边积分得 即 另外， 也是方程的解。
   33。 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至 米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。 解： ，又 ，由此 即 其中 ，解之得 又 时， ； 时， 。
   故得 ， 从而方程可化为 当 时，有 米/秒 即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速 习题4。
  1 1。 设 和 是区间 上的连续函数，证明：如果在区间 上有 常数或 常数，则 和 在区间 上线形无关。 证明：假设在 ， 在区间 上线形相关 则存在不全为零的常数 ， ，使得 那么不妨设 不为零，则有 显然 为常数，与题矛盾，即假设不成立 ， 在区间 上线形无关 2。
   证明非齐线形方程的叠加原理：设 ， 分别是非齐线形方程 （1） （2） 的解，则 + 是方程 + 的解。
   证明：由题可知 ， 分别是方程（1），（2）的解 则： （3） （4） 那么由（3）+（4）得： + 即 + 是方程是 + 的解。
   3。 试验证 0的基本解组为 ，并求方程 的通解。 证明：由题将 代入方程 0得： - =0,即 是该方程的解， 同理求得 也是该方程的解 又显然 线形无关，故 是 0的基本解组。
   由题可设所求通解为： ，则有： 解之得： 故所求通解为： 4。 试验证 0有基本解组t， ，并求方程 t-1的通解。 解：由题将t代入方程 0得： ，即t为该方程的解 同理 也是该方程的解，又显然t， 线形无关，故t， 是方程 0的基本解组 由题可设所求通解为 ，则有： 解之得： 故所求通解为 5。
   以知方程 0的基本解组为 ，求此方程适合初始条件 的基本解组（称为标准基本解组，即有 ）并求出方程的适合初始条件 的解。 解： 时间方程 0的基本解组，故存在常数 使得： 于是： 令t=0,则有方程适合初始条件 ，于是有： 解得： 故 又该方程适合初始条件 ，于是： 解得： 故 显然 ， 线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为： ， 而此方程同时满足初始条件 ，于是： 解得： 故 满足要求的解。
   习题4。2 1。 解下列方程 （1） 解：特征方程 故通解为x= (2) 解：特征方程 有三重根 。故通解为x= （3） 解：特征方程 ,有三重根 ， 2， -2 故通解为 （4） 解：特征方程 有复数根 -1+3i, -1-3i 故通解为 (5) 解：特征方程 有复数根 故通解为 (6) 解：特征方程 有根 a, -a 当 时，齐线性方程的通解为s= 代入原方程解得 故通解为s= - 当a=0时, 代入原方程解得 故通解为s= - (7) 解：特征方程 有根 2,两重根 1 齐线性方程的通解为x= 又因为 0不是特征根，故可以取特解行如 代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x= -4-t (8) 解：特征方程 故齐线性方程的通解为x= 取特解行如 代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x= + (9) 解：特征方程 有复数根 故齐线性方程的通解为 取特解行如 代入原方程解得A= 故通解为 (10) 解：特征方程 有根 -2, 1 故齐线性方程的通解为x= 因为+-2i不是特征根 取特解行如 代入原方程解得A= 故通解为x= （11） 解：特征方程 有复数根 故齐线性方程的通解为 1是特征方程的根，故 代入原方程解得A= 故通解为 + （12） 解：特征方程 有2重根 -a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s= , 1是特征方程的2重根，故 代入原方程解得A= 通解为s= , 当a -1时，齐线性方程的通解为s= , 1不是特征方程的根，故 代入原方程解得A= 故通解为s= + （13） 解：特征方程 有根 -1, -5 故齐线性方程的通解为x= 2不是特征方程的根，故 代入原方程解得A= 故通解为x= + （14） 解：特征方程 有根 -1+ i, -1- i 故齐线性方程的通解为 不是特征方程的根, 取特解行如 代入原方程解得A= 故通解为 + (15) 解：特征方程 有根 i, - i 故齐线性方程的通解为 , i,是方程的解 代入原方程解得 A= B=0 故 代入原方程解得 A= B=0 故 故通解为 习题5。
  1 1。给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解。 b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中 是任意常数。
   解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又 v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解。
   b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解。
   2。 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令 x ＝x, x = x , 得 即 又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝ x(1)＝ 其中 x＝ 。
   b) 令 ＝x ＝ ＝ ＝ 则得： 且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中 x= 。
   c) 令w ＝x， w ＝ ，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即 w w(0)= 其中 w＝ 习题5。2 1。试验证 = 是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
   解：令 的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。同样如果以 (t)表示 第二列，我们有 (t)= = (t)这样 (t)也是一个解。因此 是解矩阵。
  又因为det =-t 故 是基解矩阵。 3。设A(t)为区间a 上的连续n n实矩阵， 为方程x =A(t)x的基解矩阵，而x= (t)为其一解，试证： a) 对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数； b) (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使 (t) (t)=C。
   解a)[ (t) (t)] = (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t) 又因为 =-A (t) (t)，所以 =- (t) A(t) [ (t) (t)] =- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0, 所以对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数 b) “ ”假设为方程y =-A (t)y的基解矩阵，则 [ (t) (t)] = [ (t)] + (t) (t)=[- A (t) (t)] + (t) A (t) ) + (t)[ A(t) (t)]=- (t) A (t) + (t) A (t) =0,故 (t) (t)=C “ ”若存在非奇异常数矩阵C，detc 0,使 (t) (t)=C， 则[ (t) (t)] = (t)+ (t)=0，故 (t) (t)=- (t) (t)A(t) (t)=- (t) A(t) 所以 (t)=- (t) A(t), (t)=- (t) A (t)即 (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵 8、试求 ，其中 满足初始条件 的解 。
   解：由第7题可知 的基解矩阵 则 若方程满足初始条件 则有 若 则有 习题5。3 1、 试证：如果 是 =Ax满足初始条件 ＝ 的解，那么 ＝[expA(t-t )] 证明：由定理8可知 ＝Ф(t)Ф-1(t0) ＋Ф(t) 又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0, 又因为矩阵 （At）•（- At0）=（- At0）•（At） 所以 ＝[expA(t-t )] 5、试求方程组 =Ax的基解矩阵，并求满足初始条件 C) 由3（c）可知，矩阵A的特征值为 ＝3， ＝－1（二重） 对应的特征向量为u1＝ ，u2＝ ∴ ＝ ＋ 解得 ＝ 6、 求方程组 =Ax＋f（t）的解 ： 解：a）令 =Ax的基解矩阵为Ф(t) 解得Ф(t)＝ ， 则Ф－1(t)＝ Ф－1(0)＝ 求得 ＝ 7、 假设m不是矩阵A的特征值。
  试证非齐线性方程组 有一解形如 其中c，p是常数向量。 证：要证 是否为解，就是能否确定常数向量p 则p（mE－A）＝c 由于m不是A的特征值 故 mE－A存在逆矩阵 那么p＝c（mE－A）－1 这样方程就有形如 的解 习题6。
  3 1。
   试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态 (1) 解: 由 得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2) 对于奇点(0,0), A= 由 =0得 =1>0, =1/2>0 所以不稳定 对于奇点(0,2),令X=x,Y=y-2, 则A= 得 =-1, =-1/2 所以渐进稳定 同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定 对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定 。收起