一道二项式数学题已知（√x+1/3√x
【1】[x^(1/2)+x(-1/3)]^n展开式中的【偶数项系数和】与(a+b)^n展开式中的【奇数项系数和】是相等的。
说明题目有错。
【利用】0=(1-1)^k
=C(k,0)-C(k,1)+C(k,2)-C(k,3)+……+[(-1)^(k-1)]C(k,k-1)+[(-1)^k]C(k,k)；
【可得】奇数项系数和=偶数项系数和。
【再利用】2^k=(1+1)^k
=C(k,0)+C(k,1)+C(k,2)+C(k,3)+……+C(k,k-1)+C(k,k)；
【可得】奇数项系数和=偶数项系数和=2^(k-1)。
=============================...全部
【1】[x^(1/2)+x(-1/3)]^n展开式中的【偶数项系数和】与(a+b)^n展开式中的【奇数项系数和】是相等的。
说明题目有错。
【利用】0=(1-1)^k
=C(k,0)-C(k,1)+C(k,2)-C(k,3)+……+[(-1)^(k-1)]C(k,k-1)+[(-1)^k]C(k,k)；
【可得】奇数项系数和=偶数项系数和。
【再利用】2^k=(1+1)^k
=C(k,0)+C(k,1)+C(k,2)+C(k,3)+……+C(k,k-1)+C(k,k)；
【可得】奇数项系数和=偶数项系数和=2^(k-1)。
========================================================
【对题目提出三种合理的修改】
========================================================
【【【【【第一种合理修改方案】】】】】
把【(a+b)^n】改为【(a+b)^(2n)】，
那么据题意可得 2^(2n-1)-2^(n-1)=120，
2^(2n)-2^n-240=0 → (2^n+15)(2^n-16)=0 → n=4，
【得到】[x^(1/2)+x(-1/3)]^4展开式的第三项为C(4,2)x^[(1/2)*(4-2)+(-1/3)*2]=6x^(1/3)。
========================================================
【【【【【第二种合理修改方案】】】】】
把【(a+b)^n】改为【(a+b)^(n+4)】，
那么据题意可得 2^[(n+4)-1]-2^(n-1)=120，
16(2^n)-2^n=240 → (16-1)2^n=240 → n=4，
【得到】[x^(1/2)+x(-1/3)]^4展开式的第三项为C(4,2)x^[(1/2)*(4-2)+(-1/3)*2]=6x^(1/3)。
========================================================
【【【【【第三种合理修改方案】】】】】
把【(a+b)^n】改为【(a+b)^(12-n)】，
那么据题意可得 2^[(12-n)-1]-2^(n-1)=120，
2^(2n)-240*2^n-2^12=0 → (2^n-16)(2^n+256)=0 → n=4，
【得到】[x^(1/2)+x(-1/3)]^4展开式的第三项为C(4,2)x^[(1/2)*(4-2)+(-1/3)*2]=6x^(1/3)。
========================================================
除了以上三种【线性修改方案】外任一线性修改方案，都牵涉到更高阶的代数方程。
。收起
